Google
Câu hỏi: Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường cong $(C):y={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2$ và hai điểm $A\left( -\sqrt{2};0 \right)$, $B\left( \sqrt{2};0 \right).$ Có tất cả bao nhiêu điểm trên $(C)$ mà tổng khoảng cách từ điểm đó đến các điểm $A$ và $B$ bằng $2\sqrt{6}$ ?
A. $3$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $1$.
A. $3$.
B. $7$.
C. $6$.
D. $1$.
Gọi $M\in (C)$ là điểm cần tìm. Ta có $MA+MB=2\sqrt{6}$ và hai điểm $A\left( -\sqrt{2};0 \right)$, $B\left( \sqrt{2};0 \right)$ cố định nên $M$ thuộc elip $(E)$ nhận $A\left( -\sqrt{2};0 \right)$, $B\left( \sqrt{2};0 \right)$ là hai tiêu điểm, elip này có độ dài trục lớn bằng $2\sqrt{6}$. Giả sử $(E)$ có phương trình dạng $\dfrac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\dfrac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$.
Ta có $2a=2\sqrt{6}, 2c=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow a=\sqrt{6}, c=\sqrt{2}$. Suy ra ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=6-2=4\Rightarrow b=2$.
Vậy điểm $M$ thuộc $(E):$ $\dfrac{{{x}^{2}}}{6}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$ $\Rightarrow $ $M$ là giao điểm của $(C)$ và $(E)$.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{{{x}^{2}}}{6}+\dfrac{{{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}{4}=1$ (1).
Đặt ${{x}^{2}}=t$, điều kiện $t\ge 0$. Phương trình (1) trở thành: $\dfrac{t}{6}+\dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-4t+2 \right)}^{2}}}{4}=1$ (2).
Ta có (2) $\Leftrightarrow 4t+6{{\left( {{t}^{2}}-4t+2 \right)}^{2}}=24\Leftrightarrow 2t+3{{\left( {{t}^{2}}-4t+2 \right)}^{2}}=12$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{4}}-24{{t}^{3}}+60{{t}^{2}}-46t+12=12\Leftrightarrow 3{{t}^{4}}-24{{t}^{3}}+60{{t}^{2}}-46t=0$
$\Leftrightarrow t\left( 3{{t}^{3}}-24{{t}^{2}}+60t-46 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=0 \\
3{{t}^{3}}-24{{t}^{2}}+60t-46=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=0 \\
t\approx 1,49 \\
t\approx 3,79 \\
t\approx 2,72 \\
\end{matrix} \right.$.
Mỗi nghiệm $t>0$ của (2) cho ta hai nghiệm $x$ của (1).
Vậy (1) có 7 nghiệm, hay có 7 điểm thỏa mãn.
Ta có $2a=2\sqrt{6}, 2c=2\sqrt{2}$ $\Rightarrow a=\sqrt{6}, c=\sqrt{2}$. Suy ra ${{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}=6-2=4\Rightarrow b=2$.
Vậy điểm $M$ thuộc $(E):$ $\dfrac{{{x}^{2}}}{6}+\dfrac{{{y}^{2}}}{4}=1$ $\Rightarrow $ $M$ là giao điểm của $(C)$ và $(E)$.
Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\dfrac{{{x}^{2}}}{6}+\dfrac{{{\left( {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+2 \right)}^{2}}}{4}=1$ (1).
Đặt ${{x}^{2}}=t$, điều kiện $t\ge 0$. Phương trình (1) trở thành: $\dfrac{t}{6}+\dfrac{{{\left( {{t}^{2}}-4t+2 \right)}^{2}}}{4}=1$ (2).
Ta có (2) $\Leftrightarrow 4t+6{{\left( {{t}^{2}}-4t+2 \right)}^{2}}=24\Leftrightarrow 2t+3{{\left( {{t}^{2}}-4t+2 \right)}^{2}}=12$
$\Leftrightarrow 3{{t}^{4}}-24{{t}^{3}}+60{{t}^{2}}-46t+12=12\Leftrightarrow 3{{t}^{4}}-24{{t}^{3}}+60{{t}^{2}}-46t=0$
$\Leftrightarrow t\left( 3{{t}^{3}}-24{{t}^{2}}+60t-46 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=0 \\
3{{t}^{3}}-24{{t}^{2}}+60t-46=0 \\
\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
t=0 \\
t\approx 1,49 \\
t\approx 3,79 \\
t\approx 2,72 \\
\end{matrix} \right.$.
Mỗi nghiệm $t>0$ của (2) cho ta hai nghiệm $x$ của (1).
Vậy (1) có 7 nghiệm, hay có 7 điểm thỏa mãn.
Đáp án B.