Google
Câu hỏi: Trên mặt phẳng tọa độ, cho parabol $\left( P \right):y={{x}^{2}}$ và $d$ là đường thẳng đi qua điểm $M\left( 1; 2 \right)$. Biết rằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi $d$ và $\left( P \right)$ bằng $\dfrac{4}{3}$. Gọi $A, B$ là giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ thuộc khoảng nào sau đây?
A. $\left( 4; \dfrac{9}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{11}{2}; 6 \right)$.
C. $\left( 5; \dfrac{11}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{9}{2}; 5 \right)$.
A. $\left( 4; \dfrac{9}{2} \right)$.
B. $\left( \dfrac{11}{2}; 6 \right)$.
C. $\left( 5; \dfrac{11}{2} \right)$.
D. $\left( \dfrac{9}{2}; 5 \right)$.
Đường thẳng đi qua điểm $M\left( 1; 2 \right)$ và có hệ số góc $k$ có dạng: $y=k\left( x-1 \right)+2$.
Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}-kx+k-2=0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}; {{x}_{2}}$ vì
$\Delta ={{k}^{2}}-4k+8>0, \forall k$.
Ta có: $S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}-kx+k-2 \right)\text{d}x} \right|=\left| \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-k\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\left( k-2 \right)x \right)\mathop{|}_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=\dfrac{4}{3}$
$\Leftrightarrow \left| 2\left( x_{2}^{3}-x_{1}^{3} \right)-3k\left( x_{2}^{2}-x_{1}^{2} \right)+6\left( k-2 \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right|=8$
$\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|\left| 2\left( x_{2}^{2}+{{x}_{2}}.{{x}_{1}}+x_{1}^{2} \right)-3k\left( x_{2}^{{}}+x_{1}^{{}} \right)+6\left( k-2 \right) \right|=8$, từ đó theo Vi-et ta suy ra
$\sqrt{{{k}^{2}}-4k+8}\left| -{{k}^{2}}+4k-8 \right|=8$ $\Leftrightarrow {{k}^{2}}-4k+8=4\Rightarrow k=2$.
Vậy có thể suy ra: $A\left( 0; 0 \right)$ và $B\left( 2; 4 \right)$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5}$.
Phương trình hoành độ giao điểm: ${{x}^{2}}-kx+k-2=0$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}; {{x}_{2}}$ vì
$\Delta ={{k}^{2}}-4k+8>0, \forall k$.
Ta có: $S=\left| \int\limits_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}}{\left( {{x}^{2}}-kx+k-2 \right)\text{d}x} \right|=\left| \left( \dfrac{{{x}^{3}}}{3}-k\dfrac{{{x}^{2}}}{2}+\left( k-2 \right)x \right)\mathop{|}_{{{x}_{1}}}^{{{x}_{2}}} \right|=\dfrac{4}{3}$
$\Leftrightarrow \left| 2\left( x_{2}^{3}-x_{1}^{3} \right)-3k\left( x_{2}^{2}-x_{1}^{2} \right)+6\left( k-2 \right)\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right) \right|=8$
$\Leftrightarrow \left| {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right|\left| 2\left( x_{2}^{2}+{{x}_{2}}.{{x}_{1}}+x_{1}^{2} \right)-3k\left( x_{2}^{{}}+x_{1}^{{}} \right)+6\left( k-2 \right) \right|=8$, từ đó theo Vi-et ta suy ra
$\sqrt{{{k}^{2}}-4k+8}\left| -{{k}^{2}}+4k-8 \right|=8$ $\Leftrightarrow {{k}^{2}}-4k+8=4\Rightarrow k=2$.
Vậy có thể suy ra: $A\left( 0; 0 \right)$ và $B\left( 2; 4 \right)$ $\Rightarrow AB=\sqrt{{{2}^{2}}+{{4}^{2}}}=2\sqrt{5}$.
Đáp án A.
