Google
Câu hỏi: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\dfrac{x+m}{x+1}$ trên $\left[ 1 ; 2 \right]$ bằng $8$ ( $m$ là tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $0<m<4$.
B. $4<m<8$.
C. $8<m<10$.
D. $m>10$.
A. $0<m<4$.
B. $4<m<8$.
C. $8<m<10$.
D. $m>10$.
Tập xác định: $D=\left( -\infty ;-1 \right)\cup \left( -1 ;+\infty \right)$
Ta có: ${y}'=\dfrac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}, \forall x\ne -1$.
Trường hợp 1: $1-m=0\Leftrightarrow m=1$.
Khi đó $y=1$. Ta loại $m=1$ vì không thỏa $\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\max }} y=8$.
Trường hợp 2: $1-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1$ $\Rightarrow $ ${y}'$ không đổi dấu trên $\left[ 1 ; 2 \right]$.
Khi đó: $\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\max }} y=8\Leftrightarrow y\left( 1 \right)+y\left( 2 \right)=8\Leftrightarrow \dfrac{1+m}{2}+\dfrac{2+m}{3}=8\Leftrightarrow m=\dfrac{41}{5}$.
Vậy $8<m<10$.
Ta có: ${y}'=\dfrac{1-m}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}, \forall x\ne -1$.
Trường hợp 1: $1-m=0\Leftrightarrow m=1$.
Khi đó $y=1$. Ta loại $m=1$ vì không thỏa $\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\max }} y=8$.
Trường hợp 2: $1-m\ne 0\Leftrightarrow m\ne 1$ $\Rightarrow $ ${y}'$ không đổi dấu trên $\left[ 1 ; 2 \right]$.
Khi đó: $\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\min }} y+\underset{\left[ 1 ;2 \right]}{\mathop{\max }} y=8\Leftrightarrow y\left( 1 \right)+y\left( 2 \right)=8\Leftrightarrow \dfrac{1+m}{2}+\dfrac{2+m}{3}=8\Leftrightarrow m=\dfrac{41}{5}$.
Vậy $8<m<10$.
Đáp án C.