Google
Câu hỏi: Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={{x}^{2}}-2\ln x$ trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right]$ là
A. $T={{\text{e}}^{2}}-1$.
B. $T={{\text{e}}^{2}}-\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}$.
C. $T=2+\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}$.
D. $T=3+\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}$.
A. $T={{\text{e}}^{2}}-1$.
B. $T={{\text{e}}^{2}}-\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}$.
C. $T=2+\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}$.
D. $T=3+\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}$.
Hàm số xác định trên $\left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right]$.
Ta có ${y}'=2x-\dfrac{2}{x}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\notin \left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right] \\
& x=1\in \left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$y\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)={{\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)}^{2}}-2\ln \left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)=\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}+2\ln \left( \text{e} \right)=\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}+2$.
$y\left( 1 \right)={{1}^{2}}-2\ln \left( 1 \right)=1$.
$y\left( \text{e} \right)={{\text{e}}^{2}}-2\ln \left( \text{e} \right)={{\text{e}}^{2}}-2$.
Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right]}{\mathop{\max }} y={{\text{e}}^{2}}-2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\text{e}$.
$\underset{\left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right]}{\mathop{\min }} y=1$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$.
$\Rightarrow T={{\text{e}}^{2}}-2+1={{\text{e}}^{2}}-1$.
Ta có ${y}'=2x-\dfrac{2}{x}\Rightarrow {y}'=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-1\notin \left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right] \\
& x=1\in \left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right] \\
\end{aligned} \right.$.
$y\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)={{\left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)}^{2}}-2\ln \left( \dfrac{1}{\text{e}} \right)=\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}+2\ln \left( \text{e} \right)=\dfrac{1}{{{\text{e}}^{2}}}+2$.
$y\left( 1 \right)={{1}^{2}}-2\ln \left( 1 \right)=1$.
$y\left( \text{e} \right)={{\text{e}}^{2}}-2\ln \left( \text{e} \right)={{\text{e}}^{2}}-2$.
Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right]}{\mathop{\max }} y={{\text{e}}^{2}}-2$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=\text{e}$.
$\underset{\left[ \dfrac{1}{\text{e}};\text{e} \right]}{\mathop{\min }} y=1$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=1$.
$\Rightarrow T={{\text{e}}^{2}}-2+1={{\text{e}}^{2}}-1$.
Đáp án A.
