Google
Câu hỏi: Gọi $m,M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số $y=x-\ln x$ trên đoạn $\left[ \dfrac{1}{2};e \right]$. Giá trị của $M-m$ là
A. $e-\ln 2-\dfrac{1}{2}$.
B. $e-1$.
C. $\ln 2-\dfrac{1}{2}$.
D. $e-2$.
A. $e-\ln 2-\dfrac{1}{2}$.
B. $e-1$.
C. $\ln 2-\dfrac{1}{2}$.
D. $e-2$.
Ta có: $y=x-\ln x\Rightarrow {y}'=1-\dfrac{1}{x}$
${y}'=0\Leftrightarrow x=1\in \left[ \dfrac{1}{2};e \right]$.
$y\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}+\ln 2$, $y\left( 1 \right)=1$, $y\left( e \right)=e-1$. Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{2};e \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=1, \underset{\left[ \dfrac{1}{2};e \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( e \right)=e-1$.
Vậy $M-m=e-2$.
${y}'=0\Leftrightarrow x=1\in \left[ \dfrac{1}{2};e \right]$.
$y\left( \dfrac{1}{2} \right)=\dfrac{1}{2}+\ln 2$, $y\left( 1 \right)=1$, $y\left( e \right)=e-1$. Vậy $\underset{\left[ \dfrac{1}{2};e \right]}{\mathop{\min }} y=y\left( 1 \right)=1, \underset{\left[ \dfrac{1}{2};e \right]}{\mathop{\max }} y=y\left( e \right)=e-1$.
Vậy $M-m=e-2$.
Đáp án D.