Google
Câu hỏi: Tính thể tích của khối tứ diện đều biết chiều cao tứ diện bằng $a$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}}$.
Xét tứ diện đều $ABCD$ cạnh $AB=x$, $P$ là trung điểm $BC$, đường cao $DH=a$
$AP=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}$. Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác $ADH$ ta có: $D{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}=D{{A}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3}={{x}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Do đó: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}$
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
A. $\dfrac{\sqrt{3}}{8}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{3}}{3}{{a}^{3}}$
C. $\dfrac{\sqrt{6}}{2}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}}$.
$AP=\dfrac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AH=\dfrac{x\sqrt{3}}{3}$. Áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác $ADH$ ta có: $D{{H}^{2}}+H{{A}^{2}}=D{{A}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}+\dfrac{{{x}^{2}}}{3}={{x}^{2}}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$.
Do đó: ${{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{x}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3{{a}^{2}}\sqrt{3}}{8}$
Vậy ${{V}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}.DH.{{S}_{\Delta ABC}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{8}$.
Đáp án A.