Google
Câu hỏi: Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $AB=a$ và diện tích tam giác $SAB$ bằng ${{a}^{2}}$. Gọi $H,\ K$ lần lượt là trung điểm của $SB,\ SD$. Thể tích khối đa diện $ABCKH$ bằng
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{36}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{4}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{24}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{12}{{a}^{3}}$.
Gọi $O$ là tâm hình $ABCD$ suy ra $SO\bot \left( ABCD \right)$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ suy ra $SI\bot AB$. Khi đó $SI=\dfrac{2{{S}_{SAB}}}{AB}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a}=2a$.
Ta có $SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-I{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$ nên
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot SO\cdot {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
Mặt khác $O$ là trung điểm $BD$ suy ra ${{S}_{BOKH}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{SBD}}$.
Thể tích khối đa diện $ABCKH$ bằng
${{V}_{ABCKH}}=2{{V}_{A. BOKH}}=2\cdot \dfrac{1}{2}{{V}_{A. SBD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12}$.
A. $\dfrac{\sqrt{15}}{36}{{a}^{3}}$.
B. $\dfrac{\sqrt{15}}{4}{{a}^{3}}$.
C. $\dfrac{\sqrt{15}}{24}{{a}^{3}}$.
D. $\dfrac{\sqrt{15}}{12}{{a}^{3}}$.
Gọi $I$ là trung điểm $AB$ suy ra $SI\bot AB$. Khi đó $SI=\dfrac{2{{S}_{SAB}}}{AB}=\dfrac{2{{a}^{2}}}{a}=2a$.
Ta có $SO=\sqrt{S{{I}^{2}}-I{{O}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a \right)}^{2}}-{{\left( \dfrac{a}{2} \right)}^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$ nên
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot SO\cdot {{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2}\cdot {{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{6}$.
Mặt khác $O$ là trung điểm $BD$ suy ra ${{S}_{BOKH}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{SBD}}$.
Thể tích khối đa diện $ABCKH$ bằng
${{V}_{ABCKH}}=2{{V}_{A. BOKH}}=2\cdot \dfrac{1}{2}{{V}_{A. SBD}}=\dfrac{1}{2}{{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{{{a}^{3}}\sqrt{15}}{12}$.
Đáp án D.