Google
Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị thực của $m$ để hàm số $y=\left( 2{{m}^{2}}+m+1 \right)x+\left( 2{{m}^{2}}-m+1 \right)\sin x$ luôn đồng biến trên $\left( 0; 2\pi \right)$.
A. $m>0$.
B. $m<0$.
C. $m\ge 0$.
D. $m\le 0$.
A. $m>0$.
B. $m<0$.
C. $m\ge 0$.
D. $m\le 0$.
Ta có, $y'\left( x \right)=2{{m}^{2}}+m+1+\left( 2{{m}^{2}}-m+1 \right)\cos x$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0; 2\pi \right)$ khi và chỉ khi $\begin{aligned}
& y'\left( x \right)\ge 0, \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) \\
& \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m+1+\left( 2{{m}^{2}}-m+1 \right)\cos x\ge 0 \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2{{m}^{2}}-m-1}{2{{m}^{2}}-m+1}\le \cos x \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) $ vì $2{{m}^{2}}-m+1>0$ với mọi $m$.
Hàm số $g\left( x \right)=\cos x\in \left[ -1; 1 \right]$ khi $x\in \left( 0; 2\pi \right)$.
Do đó $ \dfrac{-2{{m}^{2}}-m-1}{2{{m}^{2}}-m+1}\le \cos x \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) \Leftrightarrow \dfrac{-2{{m}^{2}}-m-1}{2{{m}^{2}}-m+1}\le -1\Leftrightarrow m\ge 0$
Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0; 2\pi \right)$ khi và chỉ khi $\begin{aligned}
& y'\left( x \right)\ge 0, \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) \\
& \Leftrightarrow 2{{m}^{2}}+m+1+\left( 2{{m}^{2}}-m+1 \right)\cos x\ge 0 \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) \\
\end{aligned}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-2{{m}^{2}}-m-1}{2{{m}^{2}}-m+1}\le \cos x \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) $ vì $2{{m}^{2}}-m+1>0$ với mọi $m$.
Hàm số $g\left( x \right)=\cos x\in \left[ -1; 1 \right]$ khi $x\in \left( 0; 2\pi \right)$.
Do đó $ \dfrac{-2{{m}^{2}}-m-1}{2{{m}^{2}}-m+1}\le \cos x \forall x\in \left( 0; 2\pi \right) \Leftrightarrow \dfrac{-2{{m}^{2}}-m-1}{2{{m}^{2}}-m+1}\le -1\Leftrightarrow m\ge 0$
Đáp án C.