Google
Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+5 \right)<3$ là $\left( a;b \right)$. Tính $6a+8b$
A. $9$.
B. $\dfrac{9}{2}$.
C. $\dfrac{17}{2}$.
D. $8$
A. $9$.
B. $\dfrac{9}{2}$.
C. $\dfrac{17}{2}$.
D. $8$
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-x+4},t>0$
$\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)<3$
$\begin{aligned}
& VT=f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right) \\
& \Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{4t}{\left( {{t}^{2}}+1 \right)\ln 5}>0, \forall t \\
\end{aligned}$
Nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà $f\left( 2 \right)=3$
$\Rightarrow f\left( t \right)<f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t<2\to \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}<2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+4<4$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<0\Leftrightarrow 0<x<1 \\
& \to a=0,b=1 \\
& \to 6a+8b=8 \\
\end{aligned}$
$\Rightarrow {{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)<3$
$\begin{aligned}
& VT=f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right) \\
& \Rightarrow f'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{4t}{\left( {{t}^{2}}+1 \right)\ln 5}>0, \forall t \\
\end{aligned}$
Nên $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$
Mà $f\left( 2 \right)=3$
$\Rightarrow f\left( t \right)<f\left( 2 \right)\Leftrightarrow t<2\to \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}<2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x+4<4$
$\begin{aligned}
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<0\Leftrightarrow 0<x<1 \\
& \to a=0,b=1 \\
& \to 6a+8b=8 \\
\end{aligned}$
Đáp án D.