Google
Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình ${{\log }_{3}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{x}^{2}}-x+5 \right)\le 3$ là $\left( a;b \right)$. Khi đó tổng $a+2b$ bằng
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
A. $1$.
B. $3$.
C. $4$.
D. $2$.
Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-x+4}\left( t>0 \right)$ thì bất phương trình trở thành: ${{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3\le 0$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{4t}{\left( {{t}^{2}}+1 \right)\ln 5}>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Mà $f\left( t \right)<0=f\left( 2 \right)\Rightarrow t<2\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}<2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<0\Leftrightarrow 0<x<1.$
Vậy $a=0,b=1\Rightarrow a+2b=2$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)+2{{\log }_{5}}\left( {{t}^{2}}+1 \right)-3$ trên $\left( 0;+\infty \right)$.
$\Rightarrow {f}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{4t}{\left( {{t}^{2}}+1 \right)\ln 5}>0,\forall t\in \left( 0;+\infty \right)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Mà $f\left( t \right)<0=f\left( 2 \right)\Rightarrow t<2\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}-x+4}<2\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x<0\Leftrightarrow 0<x<1.$
Vậy $a=0,b=1\Rightarrow a+2b=2$.
Đáp án D.