Tập nghiệm của bất phương trình $\log _2\left(x...

Điều kiện: $x \sqrt{x^2+2}+4-x^2>0$.
Bất phương trình trở thành:
$
\begin{aligned}
& \log _2\left[x\left(\sqrt{x^2+2}-x\right)+4\right]+2 x+\sqrt{x^2+2} \leq 1 \\
& \Leftrightarrow \log _2\left(\dfrac{2 x}{\sqrt{x^2+2}+x}+4\right)+2 x+\sqrt{x^2+2} \leq 1 \\
& \Leftrightarrow 1+\log _2\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}+x}+2\right)+2 x+\sqrt{x^2+2} \leq 1 \\
& \Leftrightarrow \log _2\left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}+x}+2\right)+2 x+\sqrt{x^2+2} \leq 0 \\
& \Leftrightarrow \log _2\left(\dfrac{3 x+2 \sqrt{x^2+2}}{\sqrt{x^2+2}+x}\right)+2 x+\sqrt{x^2+2} \leq 0 \\
& \Leftrightarrow \log _2\left(3 x+2 \sqrt{x^2+2}\right)-\log _2\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)+2 x+\sqrt{x^2+2} \leq 0 \\
& \Leftrightarrow \log _2\left(3 x+2 \sqrt{x^2+2}\right)+3 x+2 \sqrt{x^2+2} \leq \log _2\left(x+\sqrt{x^2+2}\right)+x+\sqrt{x^2+2}(*)
\end{aligned}
$
Điều kiện: $\left\{\begin{array}{c}3 x+2 \sqrt{x^2+2}>0 \\ x+\sqrt{x^2+2}>0\end{array}(* *)\right.$.
Xét hàm số $f(t)=t+\log _2 t$, với $t>0$.
Ta có $f^{\prime}(t)=1+\dfrac{1}{t \ln 2}>0, \forall t>0$. Do đó hàm $f(t)$ là hàm đồng biến trên $(0 ;+\infty)$.
Bất phương trình $(*)$ trở thành $f\left(3 x+2 \sqrt{x^2+2}\right) \leq f\left(x+\sqrt{x^2+2}\right) \Leftrightarrow 3 x+2 \sqrt{x^2+2} \leq x+$ $\sqrt{x^2+2}$
Kết hợp với điều kiện $(* *)$ tức là ta đi giải: $\left\{\begin{array}{r}3 x+2 \sqrt{x^2+2}>0(1) \\ 3 x+2 \sqrt{x^2+2} \leq x+\sqrt{x^2+2}(2)\end{array}\right.$
+) Giải (1)
$3 x+2 \sqrt{x^2+2}>0 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x^2+2}>-3 x \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}-3 x \leq 0 \\ -3 x>0 \\ 4\left(x^2+2\right)>(-3 x)^2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 0 \\ \left\{\begin{array}{l}x<0 \\ 8>5 x^2\end{array}\right.\end{array}\right.\right.$
Do đó tập nghiệm của (1) là $S_1=\left(-\sqrt{\dfrac{8}{5}} ;+\infty\right)$.
+) Giải (2) $3 x+2 \sqrt{x^2+2} \leq x+\sqrt{x^2+2} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+2} \leq-2 x \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}-2 x \geq 0 \\ x^2+2 \leq 4 x^2\end{array} \Leftrightarrow\right.$
$\left\{\begin{array}{c}x \leq 0 \\ x \leq-\sqrt{\dfrac{2}{3}} \\ x \geq \sqrt{\dfrac{2}{3}}\end{array} \Leftrightarrow x \leq-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right.$.
Do đó tập nghiệm của (2) là $S_2=\left(-\infty ;-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right]$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $S=S_1 \cap S_1=\left(-\sqrt{\dfrac{8}{5}} ;-\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right]$.
Từ đó $a b=\dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{2}{3}=\dfrac{16}{15}$.