Google
Câu hỏi: Một chiếc cổng có dạng là một parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=8m$, chiều cao từ đỉnh I đến mặt đất là 8m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M, N nằm trên parabol và hai đỉnh P, Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho $1{{m}^{2}}$ cần số tiền 150000 đồng. Khi thiết kế tấm phông treo sao cho số tiền mua hoa là ít nhất, số tiền mua hoa gần bằng:
A. 3695041 đồng
B. 3600000 đồng
C. 2704958 đồng
D. 2590000 đồng
Ta gắn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Trong hệ trục đường parabol $(P):y=a{{x}^{2}}+bx+c$ qua điểm $B(4;0)$ có đỉnh là $I(0;8)$ và trục đối xứng $x=0$, ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 16\text{a}+4b+c=0 \\
& c=8 \\
& \dfrac{-b}{2\text{a}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=8 \\
\end{aligned} \right. $ nên phương trình của đường parabol là $ y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+8$.
Diện tích của chiếc cổng được giới hạn bởi đường parabol là ${{S}_{(P)}}=\int\limits_{-4}^{4}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+8 \right)d\text{x}}=\dfrac{128}{3}\left( {{m}^{2}} \right)$.
Đặt $OP=t,\left( 0<t<4 \right)$, với ${{x}_{N}}=t\Rightarrow {{y}_{N}}=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+8$.
Diện tích tấm phông ${{S}_{MNPQ}}=PQ.PN=2t.\left( -\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+8 \right)=-{{t}^{3}}+16t$.
Xét hàm số $f(t)=-{{t}^{3}}+16t,t\in (0;4)$.
Ta có ${f}'(t)=-3{{t}^{2}}+16;{f}'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\in (0;4)$. Bảng biến thiên:
Số tiền mua hoa ít nhất hay diện tích trang trí hoa nhỏ nhất khi và chỉ khi diện tích ${{S}_{MNPQ}}$ lớn nhất bằng $f{{(t)}_{\max }}=\dfrac{128\sqrt{3}}{9},\forall t\in (0;4)$.
Gọi ${{S}_{(H)}}$ là diện tích trồng hoa nhỏ nhất.
${{S}_{(H)}}={{S}_{(P)}}-{{S}_{MNPQ}}=\dfrac{384-128\sqrt{3}}{9}\left( {{m}^{2}} \right)$.
Số tiền mua hoa gần bằng $\dfrac{384-128\sqrt{3}}{9}.150000\approx 2704958$ đồng.
Cách khác để tính diện tích parabol:
Khi biết đáy của parabol có độ dài 2R, đường cao h ta có công thức nhanh để tính diện tích là $S=\dfrac{4}{3}Rh=\dfrac{4}{3}.4.8=\dfrac{128}{3}\left( {{m}^{2}} \right)$.
A. 3695041 đồng
B. 3600000 đồng
C. 2704958 đồng
D. 2590000 đồng
Ta gắn hệ trục Oxy như hình vẽ.
Trong hệ trục đường parabol $(P):y=a{{x}^{2}}+bx+c$ qua điểm $B(4;0)$ có đỉnh là $I(0;8)$ và trục đối xứng $x=0$, ta có hệ $\left\{ \begin{aligned}
& 16\text{a}+4b+c=0 \\
& c=8 \\
& \dfrac{-b}{2\text{a}}=0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& a=-\dfrac{1}{2} \\
& b=0 \\
& c=8 \\
\end{aligned} \right. $ nên phương trình của đường parabol là $ y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+8$.
Diện tích của chiếc cổng được giới hạn bởi đường parabol là ${{S}_{(P)}}=\int\limits_{-4}^{4}{\left( -\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+8 \right)d\text{x}}=\dfrac{128}{3}\left( {{m}^{2}} \right)$.
Đặt $OP=t,\left( 0<t<4 \right)$, với ${{x}_{N}}=t\Rightarrow {{y}_{N}}=-\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+8$.
Diện tích tấm phông ${{S}_{MNPQ}}=PQ.PN=2t.\left( -\dfrac{1}{2}{{t}^{2}}+8 \right)=-{{t}^{3}}+16t$.
Xét hàm số $f(t)=-{{t}^{3}}+16t,t\in (0;4)$.
Ta có ${f}'(t)=-3{{t}^{2}}+16;{f}'(t)=0\Leftrightarrow t=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\in (0;4)$. Bảng biến thiên:
Gọi ${{S}_{(H)}}$ là diện tích trồng hoa nhỏ nhất.
${{S}_{(H)}}={{S}_{(P)}}-{{S}_{MNPQ}}=\dfrac{384-128\sqrt{3}}{9}\left( {{m}^{2}} \right)$.
Số tiền mua hoa gần bằng $\dfrac{384-128\sqrt{3}}{9}.150000\approx 2704958$ đồng.
Cách khác để tính diện tích parabol:
Khi biết đáy của parabol có độ dài 2R, đường cao h ta có công thức nhanh để tính diện tích là $S=\dfrac{4}{3}Rh=\dfrac{4}{3}.4.8=\dfrac{128}{3}\left( {{m}^{2}} \right)$.
Đáp án C.
