Google
Câu hỏi: Trên bức tường cần trang trí một hình phẳng dạng parabol đỉnh như hình vẽ
Biết $OS=AB=4m$, $O$ là trung điểm của $AB$. Parabol được chia thành ba phần để sơn ba màu khác nhau với mức phí như sau: phần trên là phần kẻ sọc có giá $120.000$ đồng/m2, phần giữa hình là hình quạt tâm $O$, bán kính $2m$ được tô đậm có giá $140.000$ đồng/m2, phần còn lại có giá $160.000$ đồng/m2. Tổng chi phí để sơn cả $3$ phần gần số nào sau đây nhất?
A. $1.444.000$ đồng.
B. $1.493.000$ đồng.
C. $1.450.000$ đồng.
D. $1.488.000$ đồng.
A. $1.444.000$ đồng.
B. $1.493.000$ đồng.
C. $1.450.000$ đồng.
D. $1.488.000$ đồng.
Gắn hệ trục $Oxy$ như hình vẽ
Ta có parabol (P) $y=a{{x}^{2}}+b$. $S\left( 0;4 \right)\in \left( P \right):4=b,A\left( -2;0 \right)\in \left( P \right)\Rightarrow 4a+b=0\Rightarrow a=-1$.
Vậy $\left( P \right):y=-{{x}^{2}}+4$.
Xét đường tròn tâm $O$ bán kính $2$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left( C \right)\Rightarrow y=\pm \sqrt{4-{{x}^{2}}}$.
Vậy ta có giao điểm giữa $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ thỏa mãn: ${{y}^{2}}-y+4=4\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow A\left( -2;0 \right),B\left( 2;0 \right) \\
& y=1\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\Rightarrow C\left( -\sqrt{3};1 \right),D\left( \sqrt{3},1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $S$ là diện tích của toàn bộ parabol, ${{S}_{1}}$ là diện tích phần gạch sọc, ${{S}_{2}}$ là diện tích quạt, ${{S}_{3}}$ là diện tích còn lại. Ta có
$S=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{32}{3}$.
${{S}_{1}}=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left( 4-{{x}^{2}}-\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)dx}=\dfrac{-4}{3}\pi +5\sqrt{3}$.
Ta có $\cos \widehat{COD}=\dfrac{O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2OC.OC}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{COD}=\dfrac{2\pi }{3}\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{\pi }{3}.4=\dfrac{4\pi }{3}$.
${{S}_{3}}=S-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\dfrac{32}{3}-5\sqrt{3}$. Vậy tổng tiền là $120000.\left( \dfrac{-4}{3}\pi +5\sqrt{3} \right)+140000.\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)+160000.\left( \dfrac{32}{3}-5\sqrt{3} \right)\approx 1444000$ (đồng).
Vậy $\left( P \right):y=-{{x}^{2}}+4$.
Xét đường tròn tâm $O$ bán kính $2$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\left( C \right)\Rightarrow y=\pm \sqrt{4-{{x}^{2}}}$.
Vậy ta có giao điểm giữa $\left( P \right)$ và $\left( C \right)$ thỏa mãn: ${{y}^{2}}-y+4=4\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& y=0\Rightarrow x=\pm 2\Rightarrow A\left( -2;0 \right),B\left( 2;0 \right) \\
& y=1\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\Rightarrow C\left( -\sqrt{3};1 \right),D\left( \sqrt{3},1 \right) \\
\end{aligned} \right.$.
Gọi $S$ là diện tích của toàn bộ parabol, ${{S}_{1}}$ là diện tích phần gạch sọc, ${{S}_{2}}$ là diện tích quạt, ${{S}_{3}}$ là diện tích còn lại. Ta có
$S=\int\limits_{-2}^{2}{\left( 4-{{x}^{2}} \right)dx}=\dfrac{32}{3}$.
${{S}_{1}}=\int\limits_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}{\left( 4-{{x}^{2}}-\sqrt{4-{{x}^{2}}} \right)dx}=\dfrac{-4}{3}\pi +5\sqrt{3}$.
Ta có $\cos \widehat{COD}=\dfrac{O{{C}^{2}}+O{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2OC.OC}=-\dfrac{1}{2}\Rightarrow \widehat{COD}=\dfrac{2\pi }{3}\Rightarrow {{S}_{2}}=\dfrac{\pi }{3}.4=\dfrac{4\pi }{3}$.
${{S}_{3}}=S-{{S}_{1}}-{{S}_{2}}=\dfrac{32}{3}-5\sqrt{3}$. Vậy tổng tiền là $120000.\left( \dfrac{-4}{3}\pi +5\sqrt{3} \right)+140000.\left( \dfrac{4\pi }{3} \right)+160000.\left( \dfrac{32}{3}-5\sqrt{3} \right)\approx 1444000$ (đồng).
Đáp án A.
