Google
Câu hỏi: Một cái phễu gồm một phần có dạng hình trụ, bán kính đáy bằng R và phần còn lại có dạng hình nón, chiều cao bằng 2R. Phễu chứa nước có mực nước đến sát đáy hình nón. Người ta thả vào một vật hình cầu bằng kim loại vào thì nó đặt vừa khít trong hình nón (hình bên). Chiều cao cột nước dâng lên theo bằng
A. $\dfrac{32R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
B. $\dfrac{8R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
C. $\dfrac{16R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
D. $\dfrac{4R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
A. $\dfrac{32R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
B. $\dfrac{8R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
C. $\dfrac{16R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
D. $\dfrac{4R}{3{{\left( 1+\sqrt{5} \right)}^{3}}}$
Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB, sử dụng công thức $r=\dfrac{S}{P}$ trong đó S, P lần lượt là diện tích và nửa chu vi tam giác SAB .
Tính thê tích khôi câu, sử dụng công thức $V=\dfrac{4}{3}\pi {{\text{r}}^{3}}$
Thể tích khối cầu bằng thể tích phần nước dâng lên ở dạng khối trụ, sử dụng công thức $V=\pi {{R}^{2}}h$ tính thể tích khối trụ, từ đó suy ra h.
Áp dụng định lí Pytago ta tính được: $SA=SB=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{\text{R}}^{2}}+{{R}^{2}}}=R\sqrt{5}$
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}SO.AB=\dfrac{1}{2}2\text{R}.2\text{R}=2{{\text{R}}^{2}}$
Nửa chu vi tam giác ABC là: $P=\dfrac{SA+SB+SC}{2}=\dfrac{R\sqrt{5}+R\sqrt{5}+2\text{R}}{2}=R\left( \sqrt{5}+1 \right)$
Do khối cầu nằm vừa khít trong hình nón nên bán kính cầu chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB .
$\Rightarrow r=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{P}=\dfrac{2{{\text{R}}^{2}}}{R\left( \sqrt{5}+1 \right)}=\dfrac{2\text{R}}{\sqrt{5}+1}$
$\Rightarrow $ Thế tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{8{{R}^{3}}}{{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{3}}}$
Thể tích khối cầu chính bằng thể tích phần nước dâng lên trong hình trụ có bán kính đáy R .
Gọi h là chiều cao cột nước dâng lên ta có:
$v=\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{8{{\text{R}}^{3}}}{{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{3}}}\Leftrightarrow h=\dfrac{32R}{3{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{3}}}$
Tính thê tích khôi câu, sử dụng công thức $V=\dfrac{4}{3}\pi {{\text{r}}^{3}}$
Thể tích khối cầu bằng thể tích phần nước dâng lên ở dạng khối trụ, sử dụng công thức $V=\pi {{R}^{2}}h$ tính thể tích khối trụ, từ đó suy ra h.
Áp dụng định lí Pytago ta tính được: $SA=SB=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{4{{\text{R}}^{2}}+{{R}^{2}}}=R\sqrt{5}$
Ta có: ${{S}_{ABC}}=\dfrac{1}{2}SO.AB=\dfrac{1}{2}2\text{R}.2\text{R}=2{{\text{R}}^{2}}$
Nửa chu vi tam giác ABC là: $P=\dfrac{SA+SB+SC}{2}=\dfrac{R\sqrt{5}+R\sqrt{5}+2\text{R}}{2}=R\left( \sqrt{5}+1 \right)$
Do khối cầu nằm vừa khít trong hình nón nên bán kính cầu chính bằng bán kính đường tròn nội tiếp tam giác SAB .
$\Rightarrow r=\dfrac{{{S}_{ABC}}}{P}=\dfrac{2{{\text{R}}^{2}}}{R\left( \sqrt{5}+1 \right)}=\dfrac{2\text{R}}{\sqrt{5}+1}$
$\Rightarrow $ Thế tích khối cầu là $V=\dfrac{4}{3}\pi {{r}^{3}}=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{8{{R}^{3}}}{{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{3}}}$
Thể tích khối cầu chính bằng thể tích phần nước dâng lên trong hình trụ có bán kính đáy R .
Gọi h là chiều cao cột nước dâng lên ta có:
$v=\pi {{R}^{2}}h=\dfrac{4}{3}\pi \dfrac{8{{\text{R}}^{3}}}{{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{3}}}\Leftrightarrow h=\dfrac{32R}{3{{\left( \sqrt{5}+1 \right)}^{3}}}$
Đáp án A.
