Google
Câu hỏi: Một cái phễu có dạng hình nón chiều cao của phễu là 30 cm. Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15 cm. (hình ${{H}_{1}}$ ). Nếu bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên (hình ${{H}_{2}}$ ) thì chiều cao của cột nước trong phễu gần bằng với giá trị nào sau đây?
A. 1,553 (cm)
B. 1,306 (cm)
C. 1,233 (cm)
D. 15 (cm)
Chiếc phễu đã cho có dạng hình nón có E là đỉnh, đáy là đường tròn tâm O, bán kính OA, chiều cao $OE=30$ cm.
Gọi V là thể tích của khối nón có E là đỉnh, đáy là đường tròn tâm O, bán kính OA.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.OE=10\pi O{{A}^{2}}$
Gọi M là trung điểm của đoạn OE, N là trung điểm của đoạn EA.
Khi đổ nước vào phễu chiều cao của cột nước là $EM=15$ cm.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối nón có đỉnh E, đáy là đường tròn tâm M, bán kính MN.
Khi đó thể tích nước là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .M{{N}^{2}}.EM=5\pi .M{{N}^{2}}=\dfrac{5}{4}\pi .O{{A}^{2}}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{8}V$.
Khi bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên, chiều cao của cột nước là OP.
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích của khối nón có đỉnh E, đáy là đường tròn tâm P, bán kính PQ.
Ta có: ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{7}{8}V\Leftrightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{2}=\dfrac{7}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi .P{{Q}^{2}}.PE}{\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.OE}=\dfrac{7}{8}\Leftrightarrow \dfrac{P{{Q}^{2}}.PE}{O{{A}^{2}}.OE}=\dfrac{7}{8}$ (1)
Xét $\Delta PEQ$ và $\Delta OE\text{A}$ có: $\widehat{EPQ}=\widehat{EOA}(=90{}^\circ );\widehat{OE\text{A}}=\widehat{PEQ}$.
$\Rightarrow \Delta PEQ\sim \Delta OEA\Rightarrow \dfrac{PQ}{OA}=\dfrac{PE}{OE}$.
Kết hợp với (1) ta có: ${{\left( \dfrac{PE}{OE} \right)}^{3}}=\dfrac{7}{8}\Leftrightarrow \dfrac{PE}{OE}=\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{OE-OP}{OE}=\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2}$.
$\Leftrightarrow OP=OE.\left( 1-\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)=30.\left( 1-\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)\approx 1,306$.
* Phương pháp chung
Công thức tính thể tích hình nón có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng r là: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$.
B. 1,306 (cm)
C. 1,233 (cm)
D. 15 (cm)
Chiếc phễu đã cho có dạng hình nón có E là đỉnh, đáy là đường tròn tâm O, bán kính OA, chiều cao $OE=30$ cm.
Gọi V là thể tích của khối nón có E là đỉnh, đáy là đường tròn tâm O, bán kính OA.
Ta có: $V=\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.OE=10\pi O{{A}^{2}}$
Gọi M là trung điểm của đoạn OE, N là trung điểm của đoạn EA.
Khi đổ nước vào phễu chiều cao của cột nước là $EM=15$ cm.
Gọi ${{V}_{1}}$ là thể tích của khối nón có đỉnh E, đáy là đường tròn tâm M, bán kính MN.
Khi đó thể tích nước là ${{V}_{1}}=\dfrac{1}{3}\pi .M{{N}^{2}}.EM=5\pi .M{{N}^{2}}=\dfrac{5}{4}\pi .O{{A}^{2}}\Rightarrow {{V}_{1}}=\dfrac{1}{8}V$.
Khi bịt kín miệng phễu rồi lật ngược phễu lên, chiều cao của cột nước là OP.
Gọi ${{V}_{2}}$ là thể tích của khối nón có đỉnh E, đáy là đường tròn tâm P, bán kính PQ.
Ta có: ${{V}_{2}}=V-{{V}_{1}}=\dfrac{7}{8}V\Leftrightarrow \dfrac{{{V}_{2}}}{2}=\dfrac{7}{8}\Leftrightarrow \dfrac{\dfrac{1}{3}\pi .P{{Q}^{2}}.PE}{\dfrac{1}{3}\pi .O{{A}^{2}}.OE}=\dfrac{7}{8}\Leftrightarrow \dfrac{P{{Q}^{2}}.PE}{O{{A}^{2}}.OE}=\dfrac{7}{8}$ (1)
Xét $\Delta PEQ$ và $\Delta OE\text{A}$ có: $\widehat{EPQ}=\widehat{EOA}(=90{}^\circ );\widehat{OE\text{A}}=\widehat{PEQ}$.
$\Rightarrow \Delta PEQ\sim \Delta OEA\Rightarrow \dfrac{PQ}{OA}=\dfrac{PE}{OE}$.
Kết hợp với (1) ta có: ${{\left( \dfrac{PE}{OE} \right)}^{3}}=\dfrac{7}{8}\Leftrightarrow \dfrac{PE}{OE}=\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2}\Leftrightarrow \dfrac{OE-OP}{OE}=\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2}$.
$\Leftrightarrow OP=OE.\left( 1-\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)=30.\left( 1-\dfrac{\sqrt[3]{7}}{2} \right)\approx 1,306$.
* Phương pháp chung
Công thức tính thể tích hình nón có chiều cao bằng h và bán kính đáy bằng r là: $V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h$.
Đáp án B.
