Lý thuyết về hàm số liên tục

Câu hỏi: Lý thuyết về hàm số liên tục
Tóm tắt kiến thức
1. Hàm số liên tục
Định nghĩa. Cho hàm số  xác định trên khoảng và . Hàm số đươc gọi là liên tục tại nếu .
+) Hàm số không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
+) Hàm số liên tục trên khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
+) Hàm số liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và 
; .
Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một "đường liền" trên khoảng đó.
2. Các định lí
Định lí 1.
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
Định lí 2.
Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm . Khi đó:
a) Các hàm số và liên tục tại ;
b) Hàm số  liên tục tại nếu .
Định lí 3.
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và , thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .
Định lí 3 thường được áp dụng để chứng minh sự tồ tại nghiệm của phương trình trên một khoảng và nó còn được phát triển dưới dạng khác như sau:
Cho hàm số liên tục trên đoạn và . Khi đó phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng .