Lý thuyết hàm số

Câu hỏi: 1. Định nghĩa
Cho \(D  \subset  R,  D ≠ \phi\). Một hàm số xác định trên \(D\) là một quy tắc \(f\) cho tương ứng mỗi số \(x ∈ D\) với một và duy nhất chỉ một số \(y ∈ R\). Ta kí hiệu:
\(\begin{array}{l}f:D \to \mathbb{R}\\ x \mapsto y = f\left( x \right)\end{array}\)
Tập hợp \(D\) được gọi là tập xác định (hay miền xác định), \(x\) được gọi là biến số, \(y_0= f(x_0)\) tại \(x = x_0\).
Một hàm số có thể được cho bằng một công thức hay bằng biểu đồ hay bằng bảng.
Lưu ý rằng, khi cho nột hàm số bằng công thức mà không nói rõ tập xác định thì ta ngầm hiểu tập xác định \(D\) là tập hợp các số \(x ∈\mathbb R\) mà các phép toán trong công thức có nghĩa.
2. Đồ thị
Đồ thị của hàm số:
\(\begin{array}{l}f:D \to \mathbb{R}\\ x \mapsto y = f\left( x \right)\end{array}\)
là tập hợp các điểm \((x; f(x)), x ∈ D\) trên mặt phẳng tọa độ.
3. Sự biến thiên
Hàm số \(y = f(x)\) là đồng biến trên khoảng \((a; b)\) nếu với mọi \(x_1, x_2 ∈ (a; b)\) mà \({x_1} < {x_2} \Leftrightarrow f({x_1}) < f({x_2})\) hay \({x_1} \ne {x_2}\) ta có \(\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}> 0\).
Hàm số \(y = f(x)\) là nghịch biến trên khoảng \((a; b)\) nếu với mọi \({x_1},{x_2} \in (a; b)\) mà \({x_1} < {x_2} \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\) hay \({x_1} \ne {x_2}\) ta có \(\dfrac{f(x_{1})-f(x_{2})}{x_{1}-x_{2}}< 0\).
4. Tính chẵn lẻ của hàm số
Hàm số
\(\begin{array}{l}f:D \to \mathbb{R}\\ x \mapsto y = f\left( x \right)\end{array}\) được gọi là hàm số chẵn nếu: \(x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D\) và \(f(- x)=f(x)\), là hàm số lẻ nếu \(x ∈ D \Rightarrow -x ∈ D\) và \(f(- x) = -f(x)\).
Ví dụ:
Hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2}\) là hàm số chẵn trên \(\mathbb{R}\) vì:
+) Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì \(- x \in \mathbb{R}\).
+) \(f\left( { - x} \right) = {\left({ - x} \right)^2} = {x^2} = f\left(x \right)\).
Hàm số \(y = g\left( x \right) = \dfrac{1}{x}\) là hàm số lẻ trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) vì:
+) Với mọi \(x \in D\) thì \(- x \in D\).
+) \(g\left( { - x} \right) = \frac{1}{{ - x}} =  - \dfrac{1}{x} =  - g\left(x \right)\).
Hàm số \(y = \sqrt x \) không là hàm chẵn cũng không là hàm lẻ trên \(D = \left[ {0; + \infty } \right)\) vì  \(x = 1 \in D\) nhưng \(- x =  - 1 \notin D\).
Đồ thị của hàm số chẵn có trục đối xứng là trục tung.
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc \(O\) của hệ trục tọa độ làm tâm đối xứng.