Lí thuyết tích phân

Câu hỏi: 1. Khái niệm và tính chất
Định nghĩa
Cho hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của hàm số  trên đoạn , hiệu số được gọi là tích phân từ đến (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số .
Kí hiệu là :
Vậy ta có :
Chú ý : Trong trường hợp a = b, ta định nghĩa:
Trường hợp a>b, ta định nghĩa:
Tích phân không phụ thuộc vào chữ dùng làm biến số trong dấu tích phân, tức là :
(vì đều bằng )
Tính chất của tích phân
 (với là hằng số)

 (với )
2. Phương pháp tinh tích phân
a) Phương pháp đổi biến số
Định lí. Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số  có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho  và . Khi đó:

Chú ý. Có thể dử dụng phép biến đổi số ở dạng sau:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u=u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] sao cho α ≤ u(x) ≤ β, ∀ x∈ [a; b]. Nếu f(x) =g[u(x)]. U’​(x) ∀ x∈ [a; b], trong đó g(u) liên tục trên đoạn [α; β] thì:

b) Phương pháp tính tích phân từng phần
Định lí. Nếu u =u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b], thì :

hay 
3. Bất đẳng thức (phần kiến thức bổ sung).
Nếu f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì :
Từ đó ta có:
Nếu g(x), f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và 0 ≤ g(x) ≤ f(x), ∀ x ∈ [a; b] thì

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi g(x) ≡ f(x).
Suy ra: Nếu f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và m ≤ f(x) ≤ M, ∀ x ∈ [a; b] thì