Bài 3 trang 113 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Sử dụng phương pháp đổi biến số, tính tích phân:

Câu a​

\(\int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{(1+x)^{\frac{3}{2}}}dx\) (Đặt \(u= x+1\))
Phương pháp giải:
Đặt \(u= x+1\) và sử dụng công thức nguyên hàm cỏ bản:
\(\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(u= x+1 \Rightarrow  du =  dx\) và \(x = u - 1\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 3 \Rightarrow u = 4\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^3 {\frac{{{x^2}}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}dx} = \int\limits_1^4 {\frac{{{{\left({u - 1} \right)}^2}}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\frac{{{u^2} - 2u + 1}}{{{u^{\frac{3}{2}}}}}du} \\= \int\limits_1^4 {\left({{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}} + {u^{ - \frac{3}{2}}}} \right)du} \\ = \left. {\left({\frac{{{u^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} - 2.\frac{{{u^{ - \frac{1}{2} + 1}}}}{{ - \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{u^{ - \frac{3}{2} + 1}}}}{{ - \frac{3}{2} + 1}}} \right)} \right|_1^4\\= \left. {\left({\frac{2}{3}{u^{\frac{3}{2}}} - 4{u^{\frac{1}{2}}} - 2{u^{ - \frac{1}{2}}}} \right)} \right|_1^4\\= - \frac{{11}}{3} - \left({ - \frac{{16}}{3}} \right) = \frac{5}{3}\end{array}\)

Câu b​

\(\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}dx\) (Đặt \(x = sint\) )
Phương pháp giải:
Đặt \(x = sint\)
Sử dụng công thức hạ bậc: \({\cos ^2}\alpha  = \frac{{1 + \cos 2\alpha }}{2}\)
Sử dụng công thức nguyên hàm: \(\int {\cos \left( {ax + b} \right)dx}  = \frac{{\sin \left({ax + b} \right)}}{a} + C\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(x = sint\), \(0<t<\frac{\pi}{2}\). Ta có: \(dx = costdt\)
và \(\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{1-sin^{2}t}\)\(= \sqrt{cos^{2}t}=\left | cost \right |= cos t.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {1 - {{\sin }^2}t} \cos tdt} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\cos }^2}tdt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 + \cos 2t} \right)dt} \\= \frac{1}{2}\left. {\left({t + \frac{{\sin 2t}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \frac{1}{2}.\frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{4}\end{array}\)

Câu c​

\(\int_{0}^{1}\dfrac{e^{x}(1+x)}{1+x. E^{x}}dx\) (Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\))
Phương pháp giải:
Đặt \(u = 1 + x.{e^x}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt: \(u= 1 + x.{e^x}\)
\(\Rightarrow du = \left( {{e^x} + x.{e^x}} \right)dx \)\(= {e^x}\left( {1 + x} \right)dx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow u = 1\\x = 1 \Rightarrow u = 1 + e\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^1 {\frac{{{e^x}\left( {1 + x} \right)}}{{1 + x{e^x}}}dx} = \int\limits_1^{1 + e} {\frac{{du}}{u}} = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^{1 + e}\\= \ln \left({1 + e} \right) - \ln 1 = \ln \left({1 + e} \right)\end{array}\)

Câu d​

\(\int_{0}^{\frac{a}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}dx\) (Đặt \(x= asint\))
Phương pháp giải:
Đặt \(x= asint\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(x = a\sin t \Rightarrow dx = a\cos tdt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \frac{a}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\Rightarrow \int\limits_0^{\frac{a}{2}} {\frac{1}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{\sqrt {{a^2} - {a^2}{{\sin }^2}t} }}} \\= \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{a\cos tdt}}{{a.\cos t}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {dt} = \left. T \right|_0^{\frac{\pi }{6}} = \frac{\pi }{6}\end{array}\).