Bài 2 trang 112 SGK Giải tích 12

Câu hỏi: Tính các tích phân sau:

Câu a​

a) \(\int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)
Phương pháp giải:
Phá dấu giá trị tuyệt đối.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left| {1 - x} \right| = \left[ \begin{array}{l}1 - x khi x \le 1\\x - 1 khi x > 1\end{array} \right.\)
\(\Rightarrow \int_0^2 {\left| {1 - x} \right|} dx = \int_0^1 {\left| {1 - x} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {1 - x} \right|} dx\)
\(= \int_0^1 {(1 - x)} dx + \int_1^2 {(x - 1)} dx\)
\(= \left. {\left( {x - \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left({\dfrac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1\)

Câu b​

b) \(\int_0^{{\pi \over 2}} \sin ^2xdx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}xdx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {1 - \cos 2x} \right)dx} \\= \dfrac{1}{2}\left. {\left({x - \dfrac{{\sin 2x}}{2}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\\= \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{2} = \dfrac{\pi }{4}\end{array}\)

Câu c​

c) \(\displaystyle \int_0^{\ln 2} {{{{e^{2x + 1}} + 1} \over {{e^x}}}} dx\)
Phương pháp giải:
Chia tử cho mẫu và sử dụng công thức: \(\int\limits_{}^{} {{e^{ax + b}}dx} = \dfrac{1}{a}{e^{ax + b}} + C\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} \int\limits_0^{\ln 2} {\dfrac{{{e^{2x + 1}} + 1}}{{{e^x}}}dx} = \int\limits_0^{\ln 2} {\left( {{e^{2x + 1 - x}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \int\limits_0^{\ln 2} {\left({{e^{x + 1}} + {e^{ - x}}} \right)dx} \\= \left. {\left({{e^{x + 1}} - {e^{ - x}}} \right)} \right|_0^{\ln 2}\\= {e^{\ln 2 + 1}} - {e^{ - \ln 2}} - \left({e - 1} \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
= {e^{\ln 2}}.{e^1} - {\left({{e^{\ln 2}}} \right)^{ - 1}} - e + 1\\
= 2. E - {2^{ - 1}} - e + 1\\
= 2e - \frac{1}{2} - e + 1\\
= e + \frac{1}{2}
\end{array}\)

Câu d​

d) \(\int_0^\pi \sin 2x\cos ^2xdx\)
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức hạ bậc: \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} \sin 2x\cos ^ 2x = \sin 2x\dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\\ = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\sin 2x\cos 2x = \dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x\\\Rightarrow \int\limits_0^\pi {\sin 2x\cos ^2xdx} = \int\limits_0^\pi {\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{4}\sin 4x} \right)dx} \\= \left. {\left({ - \dfrac{1}{4}\cos 2x - \dfrac{1}{{16}}\cos 4x} \right)} \right|_0^\pi \\= - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}} - \left({ - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{{16}}} \right) = 0\end{array}\)