Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại $B$ có $AB=a$...

Ta có $SA\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SA\bot BC$
Mặt khác $BC\bot AB$ $\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)$ $\Rightarrow BC\bot AH$ (1).
Gọi $H$, $K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ trên các cạnh $SB$, $SC$ khi đó ta có.
$AH\bot SC$ (2).
Từ (1) và (2) ta có $AH\bot \left( SBC \right)$ $\Rightarrow AH\bot SC$ (3).
Mặt khác ta lại có $AK\bot SC$ (4).
Từ (3) và (4) ta có $SC\bot \left( AHK \right)$ $\Rightarrow SC\bot HK$.
Vậy $\left( \left( SAC \right),\left( SBC \right) \right)=\left( AK,HK \right)=\widehat{AKH}$.
Do $AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH\bot HK$ hay tam giác $AHK$ vuông tại $H$.
Ta có $AH=\dfrac{AB.SA}{\sqrt{A{{B}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=\dfrac{2a\sqrt{5}}{5}$ ; $AK=\dfrac{AC.SA}{\sqrt{A{{C}^{2}}+S{{A}^{2}}}}=a\sqrt{2}$ $\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{30}}{5}$.
Vậy $\cos AKH=\dfrac{HK}{AK}=\dfrac{\sqrt{15}}{5}$.