Gọi $S$ là tập hợp các giá trị của tham số $m$ để giá trị lớn nhất...

Ta có $y=\left| \dfrac{{{x}^{2}}-mx+2m}{x-2} \right|=\left| \dfrac{{{x}^{2}}}{x-2}-m \right|$
Đặt $f\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}}{x-2}$ ta có $f\left( x \right)\in \left[ -1;0 \right],\forall x\in \left[ -1;1 \right]$
Suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} y=\max \left\{ \left| -1-m \right|;\left| -m \right| \right\}=\max \left\{ \left| m+1 \right|;\left| m \right| \right\}$
Cách 1:
Xét đồ thị hàm số $y=\left| m+1 \right|$ và $y=\left| m \right|$
Từ đồ thị hàm số suy ra $\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} y=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=2 \\
& m=-3 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tổng các giá trị các phần tử của $S$ bằng $-1$
Cách 2:
$\underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\max }} y=3\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m \right|=3 \\
& \left| m+1 \right|\le 3 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& \left| m+1 \right|=3 \\
& \left| m \right|\le 3 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m=-3 \\
& m=2 \\
\end{aligned} \right. $. Vậy tổng các giá trị các phần tử của $ S $ bằng $ -1$