Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập giá trị của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)=\left| {{x}^{2}}-4x+m \right|$ trên đoạn $\left[ 1 ; 4 \right]$ bằng $6$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
A. $6$.
B. $-10$.
C. $4 .$
D. $-4$.
A. $6$.
B. $-10$.
C. $4 .$
D. $-4$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+m$ với $x\in \left[ 1 ; 4 \right]$
Có ${g}'\left( x \right)=2x-4$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2\in \left( 1 ; 4 \right)$
Ta có: $g\left( 1 \right)=m-3$, $g\left( 2 \right)=m-4$, $g\left( 4 \right)=m$
Vậy $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=m , \underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-4$ đồng thời $f\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|$.
+) Nếu $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-4>0\Leftrightarrow m>4$ thì $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-4$.
Vậy $ycbt\Leftrightarrow m-4=6\Leftrightarrow m=10$ (thỏa mãn đk đang xét).
+) Nếu $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=m<0$ thì $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-m$.
Vậy $ycbt\Leftrightarrow -m=6\Leftrightarrow m=-6$ (thỏa mãn đk đang xét).
+) Nếu $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-4\le 0\le m=\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)\Leftrightarrow 0\le m\le 4$ thì $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0\ne 6$ $\Rightarrow $ loại.
Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn, tổng của chúng bằng $10+\left( -6 \right)=4$.
Có ${g}'\left( x \right)=2x-4$
${g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=2\in \left( 1 ; 4 \right)$
Ta có: $g\left( 1 \right)=m-3$, $g\left( 2 \right)=m-4$, $g\left( 4 \right)=m$
Vậy $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=m , \underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-4$ đồng thời $f\left( x \right)=\left| g\left( x \right) \right|$.
+) Nếu $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-4>0\Leftrightarrow m>4$ thì $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=m-4$.
Vậy $ycbt\Leftrightarrow m-4=6\Leftrightarrow m=10$ (thỏa mãn đk đang xét).
+) Nếu $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=m<0$ thì $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=-m$.
Vậy $ycbt\Leftrightarrow -m=6\Leftrightarrow m=-6$ (thỏa mãn đk đang xét).
+) Nếu $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=m-4\le 0\le m=\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)\Leftrightarrow 0\le m\le 4$ thì $\underset{\left[ 1 ; 4 \right]}{\mathop{\min }} f\left( x \right)=0\ne 6$ $\Rightarrow $ loại.
Vậy có hai giá trị của $m$ thỏa mãn, tổng của chúng bằng $10+\left( -6 \right)=4$.
Đáp án C.