Gọi $S$ là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho...

$\ln \left( 7{{x}^{2}}+7 \right)\ge \ln \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m{{x}^{2}}+4x+m>0 \\
& 7{{x}^{2}}+7\ge m{{x}^{2}}+4x+m \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m>\dfrac{-4x}{{{x}^{2}}+1}=f\left( x \right) \\
& m\le \dfrac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}=g\left( x \right) \\
\end{aligned} \right.$
Do đó để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)<m\le \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} g\left( x \right)$.
Xét hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{-4x}{{{x}^{2}}+1}$ và $g\left( x \right)=\dfrac{7{{x}^{2}}-4x+7}{{{x}^{2}}+1}$ trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$.
Ta có ${f}'\left( x \right)=\dfrac{4{{x}^{2}}-4}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}};{f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} f\left( x \right)=0$.
${g}'\left( x \right)=\dfrac{4{{x}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+1};{g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x=\pm 1$ và $\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }} g\left( x \right)=7$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên của $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ ta có $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\max }} f\left( x \right)=2$ và $\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=5$.
Suy ra $2<m\le 5\xrightarrow{m\in \mathbb{Z}}m\in \left\{ 3;4;5 \right\}$.
Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số $m$ là $12$.