Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đọan $\left[ 0;10 \right]$ đế bất phương trình ${{\log }_{2}}\dfrac{{{x}^{2}}+2x+m+1}{{{x}^{2}}+2x+2}\ge 2{{x}^{2}}+4x+7-2m$ có nghiệm. Số phần tử của tập hợp $S$ bằng
A. 9.
B. 7.
C. 10.
D. 8.
A. 9.
B. 7.
C. 10.
D. 8.
Ta có $BPT\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+2 \right)\ge 2{{x}^{2}}+4x+7-2m$
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)+2\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)+2\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)$
Xét $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2>0,\forall t>0$
Nên $bpt\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)\ge f\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+m+1\ge 2{{x}^{2}}+4x+4$
$\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x+3\Leftrightarrow m\ge {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2\Leftrightarrow m\ge 2$ thì bpt có nghiệm
$\Rightarrow m\in \left\{ 2;...;10 \right\}$. Vậy có 9 giá trị thoả mãn.
$\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)+2\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)+2\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)$
Xét $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+2t$ có $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+2>0,\forall t>0$
Nên $bpt\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+2x+m+1 \right)\ge f\left( 2{{x}^{2}}+4x+4 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+m+1\ge 2{{x}^{2}}+4x+4$
$\Leftrightarrow m\ge {{x}^{2}}+2x+3\Leftrightarrow m\ge {{\left( x+1 \right)}^{2}}+2\Leftrightarrow m\ge 2$ thì bpt có nghiệm
$\Rightarrow m\in \left\{ 2;...;10 \right\}$. Vậy có 9 giá trị thoả mãn.
Đáp án A.