Google
Câu hỏi: Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y={{x}^{2}}-4x+3\ \left( P \right)$ và các tiếp tuyến kẻ từ $A\left( \dfrac{3}{2} ; -3 \right)$ đến đồ thị $\left( P \right)$. Tính giá trị của $S$.
A. $S=\dfrac{9}{8}$.
B. $S=\dfrac{9}{4}$.
C. $S=9$.
D. $S=\dfrac{9}{2}$.
A. $S=\dfrac{9}{8}$.
B. $S=\dfrac{9}{4}$.
C. $S=9$.
D. $S=\dfrac{9}{2}$.
Ta có: $y=f\left( x \right)={{x}^{2}}-4x+3\ \ \left( P \right)$.
$D=\mathbb{R}$.
${y}'={f}'\left( x \right)=2x-4$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}} ; {{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm, với ${{y}_{0}}=x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3$.
Suy ra, phương trình tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại $M$ có dạng:
$y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$
$\Leftrightarrow y=\left( 2{{x}_{0}}-4 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3\ \ \left( d \right)$.
Vì $A\left( \dfrac{3}{2} ; -3 \right)\in d$ nên ta có: $\left( 2{{x}_{0}}-4 \right)\left( \dfrac{3}{2}-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3=-3\Leftrightarrow -x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{0}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với ${{x}_{0}}=0$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $y=-4x+3\ \ \left( {{d}_{1}} \right)$.
+ Với ${{x}_{0}}=3$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $y=2x-6\ \left( {{d}_{2}} \right)$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( {{d}_{1}} \right)$ : ${{x}^{2}}-4x+3=-4x+3\Leftrightarrow x=0$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ : $2x-6=-4x+3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ : ${{x}^{2}}-4x+3=2x-6\Leftrightarrow x=3$.
Suy ra, diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left| {{x}^{2}}-4x+3-\left( -4x+3 \right) \right|}\text{d}x+\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{3}{\left| {{x}^{2}}-4x+3-\left( 2x-6 \right) \right|}\text{d}x=\dfrac{9}{4}$ (đvdt).
$D=\mathbb{R}$.
${y}'={f}'\left( x \right)=2x-4$.
Gọi $M\left( {{x}_{0}} ; {{y}_{0}} \right)$ là tọa độ tiếp điểm, với ${{y}_{0}}=x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3$.
Suy ra, phương trình tiếp tuyến của $\left( P \right)$ tại $M$ có dạng:
$y={f}'\left( {{x}_{0}} \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+{{y}_{0}}$
$\Leftrightarrow y=\left( 2{{x}_{0}}-4 \right)\left( x-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3\ \ \left( d \right)$.
Vì $A\left( \dfrac{3}{2} ; -3 \right)\in d$ nên ta có: $\left( 2{{x}_{0}}-4 \right)\left( \dfrac{3}{2}-{{x}_{0}} \right)+x_{0}^{2}-4{{x}_{0}}+3=-3\Leftrightarrow -x_{0}^{2}+3{{x}_{0}}=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}_{0}}=0 \\
& {{x}_{0}}=3 \\
\end{aligned} \right.$.
+ Với ${{x}_{0}}=0$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $y=-4x+3\ \ \left( {{d}_{1}} \right)$.
+ Với ${{x}_{0}}=3$ suy ra phương trình tiếp tuyến là $y=2x-6\ \left( {{d}_{2}} \right)$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( {{d}_{1}} \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ : $2x-6=-4x+3\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( {{d}_{2}} \right)$ : ${{x}^{2}}-4x+3=2x-6\Leftrightarrow x=3$.
Suy ra, diện tích hình phẳng cần tìm là:
$S=\int\limits_{0}^{\dfrac{3}{2}}{\left| {{x}^{2}}-4x+3-\left( -4x+3 \right) \right|}\text{d}x+\int\limits_{\dfrac{3}{2}}^{3}{\left| {{x}^{2}}-4x+3-\left( 2x-6 \right) \right|}\text{d}x=\dfrac{9}{4}$ (đvdt).
Đáp án B.