Google
Câu hỏi: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-x$ và $y=x-{{x}^{2}}$.
A. $13$.
B. $V=\dfrac{81}{12}$.
C. $\dfrac{9}{4}$.
D. $\dfrac{37}{12}$.
A. $13$.
B. $V=\dfrac{81}{12}$.
C. $\dfrac{9}{4}$.
D. $\dfrac{37}{12}$.
Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-x$ và $y=x-{{x}^{2}}$ là ${{x}^{3}}-x=x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right|}dx=\int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)}dx-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)}dx$
$=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{-2}^{0}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}$ $=\dfrac{8}{3}-\left( \dfrac{-5}{12} \right)=\dfrac{37}{12}$.
& x=0 \\
& x=1 \\
& x=-2 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $S=\int\limits_{-2}^{1}{\left| {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right|}dx=\int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)}dx-\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2x \right)}dx$
$=\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{-2}^{0}-\left. \left( \dfrac{{{x}^{4}}}{4}+\dfrac{{{x}^{3}}}{3}-{{x}^{2}} \right) \right|_{0}^{1}$ $=\dfrac{8}{3}-\left( \dfrac{-5}{12} \right)=\dfrac{37}{12}$.
Đáp án D.