Google
Câu hỏi: Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $y=mx$ (với $m<2$ ) và parabol $\left( P \right)$ : $y=x\left( 2-x \right)$. Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và trục $Ox$. Với trị nào của tham số $m$ thì ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{2}}$ ?
A. $2-\sqrt[3]{4}$.
B. $2+\sqrt[3]{2}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
A. $2-\sqrt[3]{4}$.
B. $2+\sqrt[3]{2}$.
C. $\dfrac{2}{5}$.
D. $\dfrac{1}{4}$.
* Tính ${{S}_{2}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ với trục $Ox$ là:
$x\left( 2-x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| 2x-{{x}^{2}} \right|}\text{d}x=\dfrac{4}{3}$.
* Tính ${{S}_{1}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của của $\left( P \right)$ với đường thẳng $y=mx$ là:
$mx=2x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2-m \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{2-m}{\left| 2x-{{x}^{2}}-mx \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2-m}{\left( -{{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x \right)}\text{d}x$ $=\left. \left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{\left( 2-m \right){{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2-m}$.
$=\dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{3}}}{6}$.
* Khi đó ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{2}}$ nên $\dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{3}}}{6}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{4}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ với trục $Ox$ là:
$x\left( 2-x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{S}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left| 2x-{{x}^{2}} \right|}\text{d}x=\dfrac{4}{3}$.
* Tính ${{S}_{1}}$
Phương trình hoành độ giao điểm của của $\left( P \right)$ với đường thẳng $y=mx$ là:
$mx=2x-{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-2 \right)x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=2-m \\
\end{aligned} \right.$.
Do đó ${{S}_{1}}=\int\limits_{0}^{2-m}{\left| 2x-{{x}^{2}}-mx \right|}\text{d}x=\int\limits_{0}^{2-m}{\left( -{{x}^{2}}+\left( 2-m \right)x \right)}\text{d}x$ $=\left. \left( -\dfrac{{{x}^{3}}}{3}+\dfrac{\left( 2-m \right){{x}^{2}}}{2} \right) \right|_{0}^{2-m}$.
$=\dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{3}}}{6}$.
* Khi đó ${{S}_{1}}=\dfrac{1}{2}{{S}_{2}}$ nên $\dfrac{{{\left( 2-m \right)}^{3}}}{6}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow m=2-\sqrt[3]{4}$.
Đáp án A.