Google
Câu hỏi: Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với a > 0, b > 0 và đường thẳng y = n cắt (H) tại hai điểm P, Q phân biệt. Chứng minh hai điểm P và Q đối xứng nhau qua trục Oy.
Phương pháp giải
Bước 1: Tham số hóa tọa độ P, Q theo PT đường thẳng y = n
Bước 2: Thay tọa độ P, Q vào PT (H) và chứng minh hoành độ 2 điểm này trái dấu rồi kết luận
Lời giải chi tiết
Do \(P,Q \in d:y = n\) nên \(P(t;n),Q(k;n)\)
Do \(P,Q \in (H)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{n^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{k^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{n^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{t^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{k^2}}}{{{a^2}}}\)\( \Leftrightarrow {t^2} = {k^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = k\\t = - k\end{array} \right.\)
Với t = k thì P và Q trùng nhau \( \Rightarrow \) t = k không thỏa mãn
Với t = -k thì P(t ; n) và Q(-t ; n). Khi đó P và Q đối xứng nhau qua trục Oy (ĐPCM)
Bước 1: Tham số hóa tọa độ P, Q theo PT đường thẳng y = n
Bước 2: Thay tọa độ P, Q vào PT (H) và chứng minh hoành độ 2 điểm này trái dấu rồi kết luận
Lời giải chi tiết
Do \(P,Q \in d:y = n\) nên \(P(t;n),Q(k;n)\)
Do \(P,Q \in (H)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{t^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{n^2}}}{{{b^2}}} = 1\\\frac{{{k^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{n^2}}}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \frac{{{t^2}}}{{{a^2}}} = \frac{{{k^2}}}{{{a^2}}}\)\( \Leftrightarrow {t^2} = {k^2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = k\\t = - k\end{array} \right.\)
Với t = k thì P và Q trùng nhau \( \Rightarrow \) t = k không thỏa mãn
Với t = -k thì P(t ; n) và Q(-t ; n). Khi đó P và Q đối xứng nhau qua trục Oy (ĐPCM)