Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức $z$ thỏa mãn...

Ta có: $\left| z+1+i \right|=2\Leftrightarrow \left| z-\left( -1-i \right) \right|=2\Rightarrow M\left( z \right)$ thuộc đường tròn có tâm $I\left( -1;-1 \right),R=2$
Và gọi $A\left( {{z}_{1}} \right),B\left( {{z}_{2}} \right)\Rightarrow \left| {{z}_{1}} \right|+\left| {{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\Leftrightarrow OA+OB=AB\Leftrightarrow O$ thuộc đoạn $AB$
Khi đó ${{P}^{2}}={{\left| {{z}_{1}}-2{{z}_{2}} \right|}^{2}}={{\left( \overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OB} \right)}^{2}}={{\overrightarrow{OA}}^{2}}+4{{\overrightarrow{OB}}^{2}}-4.\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}}+4OA.OB.$
Mặt khác $OA.OB=\left( HA+OH \right)\left( HB-OH \right)=\left( HA+OH \right)\left( HA-OH \right)=H{{A}^{2}}-O{{H}^{2}}$
$=H{{A}^{2}}-\left( O{{I}^{2}}-I{{H}^{2}} \right)=\left( H{{A}^{2}}+I{{H}^{2}} \right)-O{{I}^{2}}=I{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}={{R}^{2}}-O{{I}^{2}}=4-2=2$
Do đó: ${{P}^{2}}=O{{A}^{2}}+4O{{B}^{2}}+8\ge 2\sqrt{O{{A}^{2}}.4O{{B}^{2}}}+8=16$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{aligned}
& O{{A}^{2}}=4O{{B}^{2}} \\
& OA.OB=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& OA=2 \\
& OB=1 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\
& \left| {{z}_{2}} \right|=1 \\
\end{aligned} \right.$
Đặt ${{z}_{1}}=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left| {{z}_{1}}+1+i \right|=2 \\
& \left| {{z}_{1}} \right|=2 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}=4 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x+y=-1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4 \\
\end{aligned} \right.$
Suy ra $xy=\dfrac{{{\left( x+y \right)}^{2}}-\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)}{2}=\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{2}}-4}{2}=-\dfrac{3}{2}$