Google
Câu hỏi: Giả sử ${{z}_{1}},{{z}_{2}}$ là hai trong các số phức thỏa mãn $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực. Biết rằng $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4$, giá trị nhỏ nhất của $\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|$ bằng
A. $20-4\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{22}$.
C. $5-\sqrt{22}$.
D. $5-\sqrt{21}$.
Giả sử $z=x+yi \left( x,y\in \mathbb{R} \right)$ và $A\left( {{z}_{1}} \right), B\left( {{z}_{2}} \right).$ Ta có: $\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=4\Rightarrow AB=4.$
Ta có: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ 8+\overline{xi-y} \right]=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$
$=\left( 8x+6y-48 \right)+\left( -{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+6x+8y \right)i$.
Theo giả thiết: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực $\Rightarrow -{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+6x+8y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 \left( C \right)$.
Suy ra $A,B\in $ đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3; 4 \right),$ bán kính $R=5$.
Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa mãn: $\overrightarrow{MA}+3.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} \right)+3.\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} \right)=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+3.\overrightarrow{OB}=4.\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow IH\bot AB.$
Trong tam giác vuông $IHB : I{{H}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=25-4=21.$
Trong tam giác vuông $IHM$ có: $IM=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}.$
Mà điểm $I\left( 3; 4 \right)$ cố định $\Rightarrow M\in $ đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( 3; 4 \right),$ bán kính ${R}'=\sqrt{22}$.
Ta có: $T=\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3.\overrightarrow{OB} \right|=4\left| \overrightarrow{OM} \right|=4.OM.$
${{T}_{\min }}=4.O{{M}_{\min }}=4.O{{M}_{1}}=4\left| OI-{R}' \right|=4\left( 5-\sqrt{22} \right)=20-4\sqrt{22}.$
A. $20-4\sqrt{21}$.
B. $20-4\sqrt{22}$.
C. $5-\sqrt{22}$.
D. $5-\sqrt{21}$.
Ta có: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ 8+\overline{xi-y} \right]=\left[ \left( x-6 \right)+yi \right]\left[ \left( 8-y \right)-xi \right]$
$=\left( 8x+6y-48 \right)+\left( -{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+6x+8y \right)i$.
Theo giả thiết: $\left( z-6 \right)\left( 8+\overline{zi} \right)$ là số thực $\Rightarrow -{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+6x+8y=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-8y=0 \left( C \right)$.
Suy ra $A,B\in $ đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I\left( 3; 4 \right),$ bán kính $R=5$.
Xét điểm $M$ thuộc đoạn $AB$ thỏa mãn: $\overrightarrow{MA}+3.\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM} \right)+3.\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM} \right)=\overrightarrow{0}\Rightarrow \overrightarrow{OA}+3.\overrightarrow{OB}=4.\overrightarrow{OM}$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB\Rightarrow IH\bot AB.$
Trong tam giác vuông $IHB : I{{H}^{2}}={{R}^{2}}-H{{B}^{2}}=25-4=21.$
Trong tam giác vuông $IHM$ có: $IM=\sqrt{I{{H}^{2}}+H{{M}^{2}}}=\sqrt{22}.$
Mà điểm $I\left( 3; 4 \right)$ cố định $\Rightarrow M\in $ đường tròn $\left( {{C}'} \right)$ tâm $I\left( 3; 4 \right),$ bán kính ${R}'=\sqrt{22}$.
Ta có: $T=\left| {{z}_{1}}+3{{z}_{2}} \right|=\left| \overrightarrow{OA}+3.\overrightarrow{OB} \right|=4\left| \overrightarrow{OM} \right|=4.OM.$
${{T}_{\min }}=4.O{{M}_{\min }}=4.O{{M}_{1}}=4\left| OI-{R}' \right|=4\left( 5-\sqrt{22} \right)=20-4\sqrt{22}.$
Đáp án B.
