Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ nằm trong...

Điều kiện: $x>0$.
Hàm số đã cho xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$ suy ra $m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3\ne 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Suy ra $m\left( \log _{3}^{2}x+1 \right)\ne 4{{\log }_{3}}x-3,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
Suy ra $m\ne \dfrac{4{{\log }_{3}}x-3}{\log _{3}^{2}x+1},\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$.
Để hàm số $y=\dfrac{2023}{m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3}$ xác định trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ thì phương trình $m=\dfrac{4{{\log }_{3}}x-3}{\log _{3}^{2}x+1}$ vô nghiệm trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Xét hàm số $y=\dfrac{4t-3}{{{t}^{2}}+1}$ với $t={{\log }_{3}}x$.
Khi đó $y'=\dfrac{-4{{t}^{2}}+6t+4}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}$ ; $y'=0\Rightarrow -4{{t}^{2}}+6t+4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-\dfrac{1}{2} \\
& t=2 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có $\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }} y=0$.
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $m\in \left( -\infty ;-4 \right)\cup \left( 1;+\infty \right)$.
Kết hợp điều kiện $m\in \left( -2023;2023 \right)\Rightarrow m\in \left( -2023;-4 \right)\cup \left( 1;2023 \right)$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có $4039$ giá trị $m$ thỏa mãn.
Cách 2
Hàm số đã cho xác định trên $\left( 0;+\infty \right)$ khi và chỉ khi $m\log _{3}^{2}x-4{{\log }_{3}}x+m+3\ne 0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right)$
hay phương trình $m{{t}^{2}}-4t+m+3=0,\left( 1 \right)$ vô nghiệm $t\in \mathbb{R}$
Nếu $m=0$ thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow t=\dfrac{3}{4}$ không thỏa mãn.
Nếu $m\ne 0$ thì $\left( 1 \right)$ vô nghiệm khi và chỉ khi ${\Delta }'=4-m\left( m+3 \right)<0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m<-4 \\
& m>1 \\
\end{aligned} \right.$
Kết hợp điều kiện $m\in \left( -2023;2023 \right)\Rightarrow m\in \left( -2023;-4 \right)\cup \left( 1;2023 \right)$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ suy ra có $4039$ giá trị $m$ thỏa mãn.