Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ -2023;2023 \right]$ để hàm số $y={{x}^{5}}-10{{x}^{3}}+5\left( m-1 \right)x+1$ có đúng hai điểm cực trị?
A. $2024.$.
B. $2026.$.
C. $2025.$.
D. $2027.$.
A. $2024.$.
B. $2026.$.
C. $2025.$.
D. $2027.$.
Ta có: ${y}'=5{{x}^{4}}-30{{x}^{2}}+5\left( m-1 \right)=5\left[ {{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+\left( m-1 \right) \right]$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}$
${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Khảo sát hàm số ta được bảng biến thiên như sau:
Để hàm số ban đầu có $2$ cực trị thì: $1-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 1$.
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2023;2023 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên có $ 2025 $ giá trị nguyên $ m$ thỏa mãn.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{x}^{4}}-6{{x}^{2}}$
${g}'\left( x \right)=4{{x}^{3}}-12x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=0 \\
& x=\pm \sqrt{3} \\
\end{aligned} \right.$
Khảo sát hàm số ta được bảng biến thiên như sau:
Vì $\left\{ \begin{aligned}
& m\in \mathbb{Z} \\
& m\in \left[ -2023;2023 \right] \\
\end{aligned} \right. $ nên có $ 2025 $ giá trị nguyên $ m$ thỏa mãn.
Đáp án C.