Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đẳng thức sau.
${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=2y+2021$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $2.$
${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=2y+2021$.
A. $3$.
B. $1$.
C. $0$.
D. $2.$
Ta có ${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=\left( {{y}^{2}}+2022 \right).{{\log }_{2022}}\left[ {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+2022 \right]\ge {{y}^{2}}+2022$ (1)
Dấu bằng xảy ra khi ${{x}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
${{y}^{2}}+2022=\left( {{y}^{2}}+1 \right)+2021\ge 2021$ (2) Dấu bằng xảy ra khi $y=1$.
Từ (1), (2) ta có ${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=2y+2021$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có hai cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đẳng thức ${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=2y+2021$.
Dấu bằng xảy ra khi ${{x}^{2}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=1 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
${{y}^{2}}+2022=\left( {{y}^{2}}+1 \right)+2021\ge 2021$ (2) Dấu bằng xảy ra khi $y=1$.
Từ (1), (2) ta có ${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=2y+2021$ khi $\left\{ \begin{aligned}
& x=1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right. $ hoặc $ \left\{ \begin{aligned}
& x=-1 \\
& y=1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có hai cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đẳng thức ${{\log }_{2022}}{{\left( {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+2023 \right)}^{{{y}^{2}}+2022}}=2y+2021$.
Đáp án D.
