Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bất phương trình $\left( x+2y \right).\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( x+2y \right)-2y+x \right]<6x+y\left( 12-5y \right)$ ?
A. $61$.
B. $62$.
C. $64$.
D. $65$.
A. $61$.
B. $62$.
C. $64$.
D. $65$.
Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \\
& x+2y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \left( x+2y \right).\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( x+2y \right)-2y+x \right]<6x+y\left( 12-5y \right) \\
& \Leftrightarrow \left( x+2y \right).{{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( x+2y \right).\left( x-2y \right)<6x+y\left( 12-5y \right) \\
& \Leftrightarrow \left( x+2y \right).{{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( {{x}^{2}}-4{{y}^{2}} \right)-6x-12y+5{{y}^{2}}<0 \\
& \Leftrightarrow \left( x+2y \right).{{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-6\left( x+2y \right)<0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)-6<0 \\
\end{aligned}$
Đặt $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y}>0$. Khi đó bất phương trình trở thành: ${{\log }_{2}}t+t-6<0$ với mọi $t>0$.
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t-6, $ với $t>0$. Ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0, \forall t>0$ nên hàm $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Mặt khác ta có: $f\left( 4 \right)={{\log }_{2}}4+4-6=0$ nên bất phương trình tương đương:
$f\left( t \right)<f\left( 4 \right)\Leftrightarrow t<4\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y}<4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-8y<0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}<20$
Suy ra: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}<20\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$. Mà $x$ nguyên nên $x\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Lần lượt thay $x$ vào hệ điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \\
& x+2y>0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}<20 \\
\end{aligned} \right. $ để tìm $ y $ và kết hợp lại ta thu được $ 61 $ cặp số nguyên $ \left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \\
& x+2y>0 \\
\end{aligned} \right.$.
Ta có:
$\begin{aligned}
& \left( x+2y \right).\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-{{\log }_{2}}\left( x+2y \right)-2y+x \right]<6x+y\left( 12-5y \right) \\
& \Leftrightarrow \left( x+2y \right).{{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( x+2y \right).\left( x-2y \right)<6x+y\left( 12-5y \right) \\
& \Leftrightarrow \left( x+2y \right).{{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( {{x}^{2}}-4{{y}^{2}} \right)-6x-12y+5{{y}^{2}}<0 \\
& \Leftrightarrow \left( x+2y \right).{{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-6\left( x+2y \right)<0\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)+\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y} \right)-6<0 \\
\end{aligned}$
Đặt $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y}>0$. Khi đó bất phương trình trở thành: ${{\log }_{2}}t+t-6<0$ với mọi $t>0$.
Xét hàm $f\left( t \right)={{\log }_{2}}t+t-6, $ với $t>0$. Ta có: $f'\left( t \right)=\dfrac{1}{t\ln 2}+1>0, \forall t>0$ nên hàm $f\left( t \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$.
Mặt khác ta có: $f\left( 4 \right)={{\log }_{2}}4+4-6=0$ nên bất phương trình tương đương:
$f\left( t \right)<f\left( 4 \right)\Leftrightarrow t<4\Leftrightarrow \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x+2y}<4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-8y<0\Leftrightarrow {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}<20$
Suy ra: ${{\left( x-2 \right)}^{2}}<20\Leftrightarrow 2-\sqrt{2}<x<2+\sqrt{2}$. Mà $x$ nguyên nên $x\in \left\{ -2;-1;0;1;2;3;4;5;6 \right\}$.
Lần lượt thay $x$ vào hệ điều kiện $\left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}>0 \\
& x+2y>0 \\
& {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}<20 \\
\end{aligned} \right. $ để tìm $ y $ và kết hợp lại ta thu được $ 61 $ cặp số nguyên $ \left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án A.
