Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực $\left( x;y \right)$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện ${{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}={{5}^{-\left( y+4 \right)}}$ và $4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8$ ?
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
A. $3$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $4$.
${{5}^{-\left( y+4 \right)}}={{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}\ge {{3}^{-{{\log }_{3}}5}}\Rightarrow {{5}^{-\left( y+4 \right)}}\ge {{5}^{-1}}\Rightarrow -\left( y+4 \right)\ge -1\Rightarrow y\le -3.$
Dấu “ $=$ ” xảy ra khi và chỉ khi $\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8\Leftrightarrow -4y-\left( 1-y \right)+{{y}^{2}}+6y+9\le 8\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3y\le 0\Leftrightarrow -3\le y\le 0$.
Kết hợp với điều kiện $y\le -3$ suy ra $y=-3$. Với $y=-3$, ta có $\left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có đúng $2$ cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ \begin{aligned}
& y=-3 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& y=-3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Dấu “ $=$ ” xảy ra khi và chỉ khi $\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8\Leftrightarrow -4y-\left( 1-y \right)+{{y}^{2}}+6y+9\le 8\Leftrightarrow {{y}^{2}}+3y\le 0\Leftrightarrow -3\le y\le 0$.
Kết hợp với điều kiện $y\le -3$ suy ra $y=-3$. Với $y=-3$, ta có $\left[ \begin{aligned}
& x=3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy có đúng $2$ cặp số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là $\left\{ \begin{aligned}
& y=-3 \\
& x=3 \\
\end{aligned} \right. $ và $ \left\{ \begin{aligned}
& y=-3 \\
& x=-1 \\
\end{aligned} \right.$.
Đáp án B.