Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thỏa mãn...

Với $0<y\le 143028062023$, ta có: $y>0\xrightarrow{y\in \mathbb{Z}}y\ge 1.$
${{2}^{2x}}+4x-{{\log }_{2}}{{y}^{2}}-16y-8=0\Leftrightarrow {{2}^{2x}}+4x-2{{\log }_{2}}y-16y-8=0 \left( 1 \right).$
Đặt ${{\log }_{2}}y=u\Rightarrow y={{2}^{u}}.$
Khi đó, (1) trở thành: ${{2}^{2x}}+4x-2u-{{16.2}^{u}}-8=0\Leftrightarrow {{2}^{2x}}+2.2x={{2}^{u+4}}+2\left( u+4 \right) \left( 2 \right).$
Xét hàm số $f\left( t \right)={{2}^{t}}+2t \Rightarrow {f}'\left( t \right)={{2}^{t}}.\ln 2+2>0,\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f\left( t \right)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$
$\Rightarrow \left( 2 \right)$ có nghiệm duy nhất $2x=u+4\Rightarrow 2x-4={{\log }_{2}}y\Rightarrow y={{2}^{2x-4}}. $
$M\grave{a} 1\le y\le 143028062023\Rightarrow 1\le {{2}^{2x-4}}\le 143028062023\Rightarrow 0\le 2x-4\le {{\log }_{2}}143028062023$
$\Rightarrow 2\le x\le 2+\dfrac{1}{2}{{\log }_{2}}143028062023\approx 20,5\xrightarrow{x\in \mathbb{Z}}x\in \left\{ 2; 3; ...; 20 \right\}$
$\Rightarrow $ có $ 19$ cặp $\left( x;y \right)$ thỏa mãn bài toán.