Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i=\left( 6-i \right)z?$
A. $1.$
B. $4.$
C. $3.$
D. $2.$
A. $1.$
B. $4.$
C. $3.$
D. $2.$
Ta có $\left| z \right|\left( z-5-i \right)+2i$ $=\left( 6-i \right)z$ $\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-6+i \right)z$ $=5\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i$ $\left( 1 \right)$
Lây môđun hai vế của $\left( 1 \right)$ ta có:
$\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|$ $=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$
Bình phương và rút gọn ta được:
${{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+11{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0$ $\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& \left| z \right|=10,9667... \\
& \left| z \right|=0,62... \\
& \left| z \right|=-0,587... \\
\end{aligned} \right.$
Do $\left| z \right|\ge 0$, nên ta có $\left| z \right|=1$, $\left| z \right|=10,9667...$, $\left| z \right|=0,62...$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta có $3$ số phức thỏa mãn đề bài.
Lây môđun hai vế của $\left( 1 \right)$ ta có:
$\sqrt{{{\left( \left| z \right|-6 \right)}^{2}}+1}.\left| z \right|$ $=\sqrt{25{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}$
Bình phương và rút gọn ta được:
${{\left| z \right|}^{4}}-12{{\left| z \right|}^{3}}+11{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0$ $\Leftrightarrow \left( \left| z \right|-1 \right)\left( {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& {{\left| z \right|}^{3}}-11{{\left| z \right|}^{2}}+4=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left| z \right|=1 \\
& \left| z \right|=10,9667... \\
& \left| z \right|=0,62... \\
& \left| z \right|=-0,587... \\
\end{aligned} \right.$
Do $\left| z \right|\ge 0$, nên ta có $\left| z \right|=1$, $\left| z \right|=10,9667...$, $\left| z \right|=0,62...$. Thay vào $\left( 1 \right)$ ta có $3$ số phức thỏa mãn đề bài.
Đáp án C.