Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa $\left| z+1-2i \right|=\left|...

Giả sử $z=x+yi\left( x,y\in \mathbb{R} \right)$, điều kiện: $\left( x,y \right)\ne \left( 0;1 \right)$ theo giả thiết:
$\begin{aligned}
& \left| z+1-2i \right|=\left| \overline{z}+3+4i \right|\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}}} \\
& \text{ }\Leftrightarrow {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}={{\left( x+3 \right)}^{2}}+{{\left( 4-y \right)}^{2}} \\
& \text{ }\Leftrightarrow x-y+5=0 \\
& \text{ }\Leftrightarrow x=y-5 \\
\end{aligned}$
Ta có:
$\begin{aligned}
& \dfrac{z-2i}{\overline{z}+i}=\dfrac{x+\left( y-2 \right)i}{x+\left( 1-y \right)i}=\dfrac{\left[ x+\left( y-2 \right)i \right]\left[ x-\left( 1-y \right)i \right]}{\left[ x+\left( 1-y \right)i \right]\left[ x-\left( 1-y \right)i \right]} \\
& \text{ }=\dfrac{{{x}^{2}}+\left( y-2 \right)\left( 1-y \right)+\left[ x\left( y-2 \right)-x\left( 1-y \right) \right]i}{{{x}^{2}}+{{\left( 1-y \right)}^{2}}} \\
\end{aligned}$
Vì $\dfrac{z-2i}{\overline{z}+i}$ thuần ảo nên ${{x}^{2}}+\left( y-2 \right)\left( 1-y \right)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}={{y}^{2}}-3y+2\left( * \right)$
Thế $x=y-5$ vào $\left( * \right)$ ta được: ${{\left( y-5 \right)}^{2}}={{y}^{2}}-3y+2\Leftrightarrow 7y=23\Leftrightarrow y=\dfrac{23}{7}\text{ }\left( ** \right)$
Với $y=\dfrac{23}{7}\Rightarrow x=-\dfrac{12}{7}$.
Vậy tồn tại $1$ số phức $z$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.