Google
Câu hỏi: Xét các số phức $z$ thỏa mãn $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)$ là số thuần ảo. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của $z$ là một đường tròn. Tâm của đường tròn đó có tọa độ là
A. $(-1;1)$.
B. $(1;1)$.
C. $(1;-1)$.
D. $(-1;-1)$.
A. $(-1;1)$.
B. $(1;1)$.
C. $(1;-1)$.
D. $(-1;-1)$.
Đặt $z=x+yi$.
Ta có:
$\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)=\left( x+(y+2)i \right)\left( (x+2)-yi \right)=x(x+2)+y(y+2)+\left( (x+2)(y+2)-xy \right)i$
Vì $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)$ là số thuần ảo nên
$x(x+2)+y(y+2)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=2$
Đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-1;-1)$
Ta có:
$\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)=\left( x+(y+2)i \right)\left( (x+2)-yi \right)=x(x+2)+y(y+2)+\left( (x+2)(y+2)-xy \right)i$
Vì $\left( z+2i \right)\left( \overline{z}+2 \right)$ là số thuần ảo nên
$x(x+2)+y(y+2)=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y=0\Leftrightarrow {{(x+1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}=2$
Đây là phương trình đường tròn có tâm $I(-1;-1)$
Đáp án D.