Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn $\left[ {{\log }_{3}}\left(...

Điều kiện: $x>-21.$
Khi đó:
$\begin{aligned}
& \left[ {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+21 \right) \right].\left( 16-{{2}^{x-1}} \right)\ge 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+21 \right)\ge 0 \\
& 16-{{2}^{x-1}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. (I) \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+21 \right)\le 0 \\
& 16-{{2}^{x-1}}\le 0 \\
\end{aligned} \right. (II) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Giải $\left( I \right)$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+21 \right)\ge 0 \\
& 16-{{2}^{x-1}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+21 \right) \\
& {{2}^{x-1}}\le {{2}^{4}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+1\ge x+21 \\
& x-1\le 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-20\ge 0 \\
& x\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x\le -4 \\
& x\ge 5 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\le 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le -4 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right..$
Kết hợp điều kiện ta được $\left[ \begin{aligned}
& -21<x\le -4 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right. $ $ \left( 1 \right)$.
Giải $\left( II \right)$ ta có
$\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+21 \right)\le 0 \\
& 16-{{2}^{x-1}}\le 0 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\le {{\log }_{3}}\left( x+21 \right) \\
& {{2}^{x-1}}\ge {{2}^{4}} \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+1\le x+21 \\
& x-1\ge 4 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-20\le 0 \\
& x\ge 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& -4\le x\le 5 \\
& x\ge 5 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow x=5 \left( 2 \right).$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có các giá trị của $x$ thoả mãn bất phương trình đã cho là $\left[ \begin{aligned}
& -21<x\le -4 \\
& x=5 \\
\end{aligned} \right.$.
Vì $x \in Z$ nên suy ra $x\in \left\{ -20;-19;...;-4;5 \right\}$. Vậy có tất cả 18 số nguyên $x$ thoả mãn đề bài.