Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left[ {{\log }_{2}}\left(...

ĐKXĐ: $x>-31$.
Cách 1. $\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \right]\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)\ge 0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)\ge 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\ge 0 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)\le 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\le 0 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \\
& {{2}^{5}}\ge {{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\le {{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \\
& {{2}^{5}}\le {{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+1\ge x+31 \\
& x-1\le 5 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+1\le x+31 \\
& x-1\ge 5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30\ge 0 \\
& x\le 6 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30\le 0 \\
& x\ge 6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& x\ge 6 \\
& x\le -5 \\
\end{aligned} \right. \\
& x\le 6 \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& -5\le x\le 6 \\
& x\ge 6 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x\le -5 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right. $. Kết hợp ĐKX $ x>-31 $ ta được $ \left[ \begin{aligned}
& -31<x\le -5 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình làCVi| $S=\left( -31;-5 \right]\cup \left\{ 6 \right\}$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -30;-29;...;-4;-5;6 \right\}$. Vậy có 27 giá trị của $x$ thỏa mãn.
Cách 2. Đặt $f(x)=\left[ {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \right]\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)$
$f\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)-{{\log }_{2}}\left( x+31 \right)=0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}=0 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)={{\log }_{2}}\left( x+31 \right) \\
& {{2}^{x-1}}=32 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30=0 \\
& x-1=5 \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=6 \\
& x=-5 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên
Tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left( -31;-5 \right]\cup \left\{ 6 \right\}$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \left\{ -30;-29;...;-4;-5;6 \right\}$. Vậy có 27 giá trị của $x$ thỏa mãn.