Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{\log }_{3}}\left(...

Ta có: $\left( {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right) \right)\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)\ge 0$
Điều kiện: $x+40>0\Leftrightarrow x>-40 \left( * \right)$.
Xét $\left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right)=0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)={{\log }_{3}}\left( x+40 \right) \\
& 32={{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+10=x+40 \\
& 5=x-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30=0 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-5 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$ là nghiệm của bất phương trình.
Xét $\left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right)\ne 0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}\ne 0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x\ne -5 \\
& x\ne 6 \\
\end{aligned} \right.$.
Khi đó $\left( {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right) \right)\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right)>0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}>0 \\
\end{aligned} \right.$$\cup \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right)<0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}<0 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)>{{\log }_{3}}\left( x+40 \right) \\
& 32>{{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right.$$\cup \left\{ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)<{{\log }_{3}}\left( x+40 \right) \\
& 32<{{2}^{x-1}} \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+10>x+40 \\
& 5>x-1 \\
\end{aligned} \right.$$\cup \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}+10<x+40 \\
& 5<x-1 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30>0 \\
& x-6<0 \\
\end{aligned} \right.$$\cup \left\{ \begin{aligned}
& {{x}^{2}}-x-30<0 \\
& x-6>0 \\
\end{aligned} \right.$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& x<-5\cup x>6 \\
& x<6 \\
\end{aligned} \right.$$\cup \left\{ \begin{aligned}
& -5<x<6 \\
& x>6 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow x<-5$.
Từ các trường hợp trên, ta có nghiệm của bất phương trình là $-40<x\le -5$ $\cup x=6$.
Mà $x$ nguyên nên ta có: $x\in \left\{ -39;-38;...-5;6 \right\}$.
CÁCH KHÁC
Điều kiện: $x+40>0\Leftrightarrow x>-40 \left( * \right)$.
Ta xét $g\left( x \right)=\left( {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right) \right)\left( 32-{{2}^{x-1}} \right)=0$
$\Leftrightarrow $ $\left[ \begin{aligned}
& {{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+10 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+40 \right)=0 \\
& 32-{{2}^{x-1}}=0 \\
\end{aligned} \right.$$\Leftrightarrow ...$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& x=-5 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng xét dấu
Bất phương trình $\Leftrightarrow g\left( x \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& -40<x\le -5 \\
& x=6 \\
\end{aligned} \right.$
Mà $x$ nguyên nên ta có: $x\in \left\{ -39;-38;...-5 \right\}\cup \left\{ 6 \right\}$.
Vậy có 36 giá trị nguyên $x$.