Có bao nhiêu số nguyên dương $b$ sao cho ứng với mỗi $b$ có không...

Với $\left\{ \begin{aligned}
& b\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\
& 0<a\ne 1 \\
& a\in \mathbb{Z} \\
\end{aligned} \right.\Rightarrow a\ge 2$
Đổi về cơ số $2$ ta được ${{\log }_{4b}}\left( \dfrac{{{a}^{3}}}{{{2}^{10}}{{b}^{2}}} \right)\le {{\log }_{a}}\dfrac{b}{16}\Leftrightarrow \dfrac{3{{\log }_{2}}a-10-2{{\log }_{2}}b}{2+{{\log }_{2}}b}\le \dfrac{{{\log }_{2}}b-4}{{{\log }_{2}}a}$
Đặt $x={{\log }_{2}}a$, $y={{\log }_{2}}b$, $\left( x,y>0 \right)$
$\Rightarrow \dfrac{3x-10-2y}{y+2}\le \dfrac{y-4}{x}\Leftrightarrow \left( y+2 \right)\left( y-4 \right)\ge x\left( 3x-10-2y \right)$
$\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-\left( 2y+10 \right)x-\left( y+2 \right)\left( y-4 \right)\le 0$ có hai nghiệm đối với $x$ là $y+2$, $\dfrac{4-y}{3}$ và $y+2>\dfrac{4-y}{3}$, $\forall y>0$
Do đó $\dfrac{4-y}{3}\le x\le y+2\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\sqrt[3]{\dfrac{16}{b}}\le {{\log }_{2}}a\le {{\log }_{2}}\left( 4b \right)\Leftrightarrow \sqrt[3]{\dfrac{16}{b}}\le a\le 4b$
$\Rightarrow {{S}_{a}}=\left[ \sqrt[3]{\dfrac{16}{b}};4b \right]$ chứa tối đa $31$ số nguyên là các số $\left\{ 4b;4b-1;...;4b-30 \right\}$
$\Leftrightarrow 4b-31<\sqrt[3]{\dfrac{16}{b}}\Rightarrow b\in \left\{ 1;...;8 \right\}$
Vậy có $8$ số nguyên $b$ thỏa.