Google
Câu hỏi: Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số $m$ để phương trình $\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0$ có nghiệm $x\in \left[ 1;9 \right]$.
A. $5$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
A. $5$.
B. $1$.
C. $2$.
D. $3$.
Điều kiện: $x>0$
$\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0$ $\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2-m=0$
Đặt ${{\log }_{3}}x=t$
Khi đó phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-mt+2-m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2=m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}=m$
Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $t\in \left[ 0;2 \right]$
$\begin{aligned}
& g'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}} \\
& g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1+\sqrt{3}\left( t/m \right) \\
& t=-1-\sqrt{3}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Bảng biến thiên
Vậy $-2+2\sqrt{3}<m\le 2.$
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên có $1$ giá trị thỏa mãn.
$\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0$ $\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2-m=0$
Đặt ${{\log }_{3}}x=t$
Khi đó phương trình trở thành:
${{t}^{2}}-mt+2-m=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2=m\left( t+1 \right)\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}=m$
Xét hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ trên $t\in \left[ 0;2 \right]$
$\begin{aligned}
& g'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}} \\
& g'\left( t \right)=0\Leftrightarrow \dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}=0\Rightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1+\sqrt{3}\left( t/m \right) \\
& t=-1-\sqrt{3}\left( l \right) \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned}$
Bảng biến thiên
Mà $m\in \mathbb{Z}$ nên có $1$ giá trị thỏa mãn.
Đáp án B.
