Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để phương trình $2{{\log...

Ta có: $2{{\log }_{2}}\left( x-3 \right)+\left( 2m+5 \right){{\log }_{\sqrt{x-3}}}2=2m \left( 1 \right)$
Điều kiện: $3<x\ne 4$
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \log _{_{2}}^{2}\left( x-3 \right)-m{{\log }_{2}}\left( x-3 \right)+\left( 2m+5 \right)=0 \left( 2 \right)$
Đặt $t={{\log }_{2}}\left( x-3 \right)$ ; $x\in \left( 3 ; 5 \right)\backslash \left\{ 4 \right\}$ $\Rightarrow t\in \left( -\infty ; 1 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$.
Thay $t$ vào $\left( 2 \right)$ ta được: ${{t}^{2}}-mt+\left( 2m+5 \right)=0 \left( 3 \right)$.
Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}<5$
$\Leftrightarrow \left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ thỏa mãn ${{t}_{1}},{{t}_{2}}\in \left( -\infty ; 1 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \Delta ={{m}^{2}}-8m-20>0 \\
& 1.f\left( 1 \right)=m+6>0 \\
& f\left( 0 \right)=2m+5\ne 0 \\
& \dfrac{S}{2}=\dfrac{m}{2}<1 \\
\end{aligned} \right. $, với $ f\left( t \right)={{t}^{2}}-mt+\left( 2m+5 \right)$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -\infty ; -2 \right)\cup \left( 10 ; +\infty \right) \\
& m\in \left( -6 ; 2 \right) \\
& m\ne -\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right. $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& m\in \left( -6 ; -2 \right) \\
& m\ne -\dfrac{5}{2} \\
\end{aligned} \right.$.