Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $\log...

Điều kiện: $x>0$.
Ta có: $\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\Leftrightarrow \log _{3}^{2}x-m{{\log }_{3}}x+2-m=0$.
Đặt $t={{\log }_{3}}x$, với $x\in \left[ 1;9 \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;2 \right]$.
Phương trình đã cho trở thành: ${{t}^{2}}-mt+2-m=0\Leftrightarrow m=\dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1} \left( 1 \right)$.
Xét hàm số $f\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2}{t+1}$ với $t\in \left[ 0;2 \right]$ ta có:
${f}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+2t-2}{{{\left( t+1 \right)}^{2}}}$, ${f}'\left( t \right)=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t=-1+\sqrt{3}\in \left[ 0;2 \right] \\
& t=-1-\sqrt{3}\notin \left[ 0;2 \right] \\
\end{aligned} \right.$.
Bảng biến thiên:
Khi đó: phương trình đã cho có nghiệm $x\in \left[ 1;9 \right]$ $\Leftrightarrow $ Phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm $t\in \left[ 0;2 \right]$.
$\Leftrightarrow -2+2\sqrt{3}\le m\le 2$.
Mặt khác, do $m\in \mathbb{Z}$ nên $m=2$.
Vậy có một giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa yêu cầu bài toán.