Google
Câu hỏi: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình ${{\log }_{3}}\left( m-x \right)+3m={{3}^{x}}+4x-1$ có nghiệm thuộc $\left[ 0;2 \right]$ ?
A. $7$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $15$.
A. $7$.
B. $6$.
C. $5$.
D. $15$.
Phương trình ${{\log }_{3}}\left( m-x \right)+3m={{3}^{x}}+4x-1\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( m-x \right)+3\left( m-x \right)={{3.3}^{x-1}}+x-1$.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3.3}^{t}}+t$ ; ta có ${f}'\left( t \right)={{3.3}^{t}}\ln 3+1>0,\forall t$.
Do đó $f\left( {{\log }_{3}}\left( m-x \right) \right)=f\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( m-x \right)=x-1\Leftrightarrow m={{3}^{x-1}}+x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{3}^{x-1}}+x$, ta có ${g}'\left( x \right)={{3}^{x-1}}\ln 3+1>0, \forall x$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=\dfrac{1}{3}$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=5$.
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc $\left[ 0;2 \right]$ khi và chỉ khi $\dfrac{1}{3}\le m\le 5$.
Vậy có $5$ giá trị nguyên $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Xét hàm số $f\left( t \right)={{3.3}^{t}}+t$ ; ta có ${f}'\left( t \right)={{3.3}^{t}}\ln 3+1>0,\forall t$.
Do đó $f\left( {{\log }_{3}}\left( m-x \right) \right)=f\left( x-1 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( m-x \right)=x-1\Leftrightarrow m={{3}^{x-1}}+x$.
Xét hàm số $g\left( x \right)={{3}^{x-1}}+x$, ta có ${g}'\left( x \right)={{3}^{x-1}}\ln 3+1>0, \forall x$.
Suy ra $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\min }} g\left( x \right)=g\left( 0 \right)=\dfrac{1}{3}$ và $\underset{\left[ 0;2 \right]}{\mathop{\max }} g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=5$.
Phương trình đã cho có nghiệm thuộc $\left[ 0;2 \right]$ khi và chỉ khi $\dfrac{1}{3}\le m\le 5$.
Vậy có $5$ giá trị nguyên $m$ thỏa yêu cầu bài toán.
Đáp án C.