Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để hàm số...

Đặt $t=\sqrt{{{x}^{2}}-4x}\Rightarrow {t}'=\dfrac{x-2}{\sqrt{{{x}^{2}}-4x}}<{{0}^{{}}}{{\forall }^{{}}}t\in \left( -4;0 \right)$ $\Rightarrow $ $t$ nghịch biến trên $\left( -4;0 \right)$
$\Rightarrow t\in \left( 0;4\sqrt{2} \right)$.
Khi đó bài toán trở thành tìm $m$ nguyên dương để hàm số $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+3t+m+2}{t+2}$ đồng biến trên $\left( 0;4\sqrt{2} \right)$.
Ta có $g\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+3t+m+2}{t+2}\Rightarrow {g}'\left( t \right)=\dfrac{{{t}^{2}}+4t+4-m}{{{\left( t+2 \right)}^{2}}}=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+4t+4-m=0\Leftrightarrow {{\left( t+2 \right)}^{2}}=m$
Do phương $m>0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x=-2\pm \sqrt{m}$
$\Rightarrow $ Hàm số đồng biên trên $\left( -\infty ;-2-\sqrt{m} \right)$ và $\left( -2+\sqrt{m};+\infty \right)$.
Để hàm số $g\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( 0;4\sqrt{2} \right)$ $\Leftrightarrow $ $\left( 0;4\sqrt{2} \right)\subset \left( -2+\sqrt{m};+\infty \right)$
$\Leftrightarrow -2+\sqrt{m}\le 0\Leftrightarrow \sqrt{m}\le 2\Leftrightarrow m\le 4$.