Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình ${{\left(...

+ TH1: $m=1\Rightarrow x=0$ ( Loại).
+ TH2: $m\ne 1$. Lấy logarit cơ số $m$ hai vế phương trình ta được
${{\left( m+20 \right)}^{x}}.{{m}^{{{x}^{2}}-3}}=1\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{\log }_{m}}(m+20).x-3=0$
Do $a.c<0$ nên phương trình có 2 nghiệm trái dấu là $\left[ \begin{aligned}
& x=\dfrac{-{{\log }_{m}}(m+20)+\sqrt{{{\log }^{2}}_{m}(m+20)+12}}{2} \\
& x=\dfrac{-{{\log }_{m}}(m+20)-\sqrt{{{\log }^{2}}_{m}(m+20)+12}}{2} \\
\end{aligned} \right.$
+ Theo giả thiết $\dfrac{-{{\log }_{m}}(m+20)+\sqrt{{{\log }^{2}}_{m}(m+20)+12}}{2}>1(1)$
Đặt ${{\log }_{m}}(m+20)=t$.$(1)\Leftrightarrow \sqrt{{{t}^{2}}+12}>t+2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t+2\le 0 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& t+2>0 \\
& {{t}^{2}}+12>{{t}^{2}}+4t+4 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& t\le -2 \\
& \left\{ \begin{aligned}
& t>-2 \\
& t<2 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow t<2\Leftrightarrow {{\log }_{m}}(m+20)<2\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& m+20<{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<1 \\
& m+20>{{m}^{2}} \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& \left\{ \begin{aligned}
& m>1 \\
& \left[ \begin{aligned}
& m>5 \\
& m<-4 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right. \\
& \left\{ \begin{aligned}
& 0<m<1 \\
& -4<m<5 \\
\end{aligned} \right. \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned}
& m>5 \\
& 0<m<1 \\
\end{aligned} \right..$